300 longest increasing subsequence medium

300_longest_increasing_subsequence_medium/README.md

@@ -0,0 +1,211 @@
+# 問題へのリンク
+[300. Longest Increasing Subsequence](https://leetcode.com/problems/longest-increasing-subsequence/)
+
+# 言語
+Python
+
+# 自分の解法
+
+## step1
+
+```python
+class Solution:
+    def lengthOfLIS(self, nums: list[int]) -> int:
+        if not nums:
+            return 0
+
+        max_lengths_so_far = [1] * len(nums)
+
+        for i in range(1, len(nums)):
+            length = 0
+            for j in range(i):
+                if nums[j] < nums[i]:
+                    length = max(length, max_lengths_so_far[j])
+            max_lengths_so_far[i] = length + 1
+        return max(max_lengths_so_far)
+```
+
+- 変数名がうまくつけられなかった
+- 時間計算量も最適でない
+
+`nums`の要素数を`n`とすると、
+- 時間計算量：`O(n^2)`
+- 空間計算量：`O(n)`
+
+## step2
+
+```python
+class Solution:
+    def lengthOfLIS(self, nums: list[int]) -> int:
+        if not nums:
+            return 0
+
+        # max_length[i] is the maximum length of increasing subsequences that ends at nums[i]
+        max_lengths = [1] * len(nums)
+        for i in range(len(nums)):
+            max_previous_length = 0
+            for j in range(i):
+                if nums[j] < nums[i]:
+                    max_previous_length = max(max_previous_length, max_lengths[j])
+            max_lengths[i] = max_previous_length + 1
+        return max(max_lengths)
+```
+
+## step3
+
+`step3_bruteforce.py`
+```python
+class Solution:
+    def lengthOfLIS(self, nums: list[int]) -> int:
+        left_max_lengths = [1] * len(nums)
+        for i in range(len(nums)):
+            for j in range(i):
+                if nums[j] < nums[i]:
+                    left_max_lengths[i] = max(
+                        left_max_lengths[i], left_max_lengths[j] + 1
+                    )
+
+        return max(left_max_lengths)
+```
+- こっちはすらすら書ける
+
+
+`step3_binary_search.py`
+```python
+class Solution:
+    def bisect_left(self, nums: list[int], target: int) -> int:
+        if not nums:
+            return 0
+        left = -1
+        right = len(nums)
+        while right - left > 1:
+            mid = (right + left) // 2
+            if target <= nums[mid]:
+                right = mid
+            else:
+                left = mid
+        return right
+
+    def lengthOfLIS(self, nums: list[int]) -> int:
+        if not nums:
+            return 0
+        tails = []
+        for num in nums:
+            index = self.bisect_left(tails, num)
+            if index == len(tails):
+                tails.append(num)
+                continue
+            tails[index] = num
+        return len(tails)
+```
+
+- `tails`は常に昇順にソートされているので、`num`が`tails`のどこに入るかを二分探索。これは覚えていないと書けない
+- `left=-1`, `right=len(nums)`から始めると、`mid=-1`や`mid=len(nums)`になるのではないかと不安に思っていたが、`while right - left > 1`の条件でループするので、ループの中では`right - left`は常に2以上になるので、`left < mid < right`が保証される。返り値は`right`なので、`len(nums)`が返ることはある。
+- ちなみに`bisect_right`の実装は
+
+```python
+def bisect_right(nums: list[int], target: int) -> int:
+    left = -1
+    right = len(nums)
+    while right - left > 1:
+        mid = (right + left) // 2
+        if target < nums[mid]:
+            right = mid
+        else:
+            left = mid
+    return right
+```
+
+## step4 (FB)
+
+- `max_lengths_so_far`は`index_to_max_length`や`max_length_by_index`、`max_length_ending_at_index`などの方が良い
+
+
+```python
+for i in range(len(nums)):
+    for j in range(i):
+        if nums[j] < nums[i]:
+            left_max_lengths[i] = max(
+                left_max_lengths[i], left_max_lengths[j] + 1
+            )
+```
+は
+
+```python
+for i in range(len(nums)):
+    left_max_length[i] = max(
+        [left_max_length[j] + 1 for j in range(i) if nums[j] < nums[i]],
+        default = 1
+        )
+```
+とも書ける。余分にメモリは確保してしまうが、オーダーには影響しない程度。むしろ、二重ループに強弱が出てわかりやすいと感じた。つまり、内部の`j`のループは`i`のためにmaxを取るために回しているもので従属的である、と伝わりやすいと感じた。逆に多重ループが完全に独立している（直積である）ときには、`itertools.product`を使えば良い。
+- `max`の`default`引数は空のイテレータを渡した時の返り値を設定できる。`max([])`をそのまま実行すると、`ValueError: max() iterable argument is empty`が出る。
+
+# 別解・模範解答
+
+`min_tails_linear.py`
+
+```python
+class Solution:
+    def lengthOfLIS(self, nums: list[int]) -> int:
+        # min_tails[i] is the minimum number of the tails of increasing subsequences with length (i+1)
+        if not nums:
+            return 0
+        min_tails = [nums[0]]
+        for num in nums[1:]:
+            if min_tails[-1] < num:
+                min_tails.append(num)
+                continue
+            for i, tail in enumerate(min_tails):
+                if num <= tail:
+                    min_tails[i] = num
+                    break
+        return len(min_tails)
+```
+
+- `min_tails[i]`は長さ`i + 1`の増加部分列の最小の末尾要素を表す
+- 非常にエレガントだが、なぜこれで正しいのか直感的に理解するのは難しい
+- 時間計算量：`O(n^2)`
+- 空間計算量：`O(n)`
+    - 最悪、`nums`が昇順にソートされている場合、`tails`の長さは`n`になる
+
+
+`mins_tails`は常に昇順にソートされているので、`num`が`min_tails`のどこに入るかを二分探索で探せる時間計算量は`O(log n)`になる
+
+
+
+`min_tails_binary_search_bisect.py`
+```python
+import bisect
+
+
+class Solution:
+    def lengthOfLIS(self, nums: list[int]) -> int:
+        if not nums:
+            return 0
+        min_tails = [nums[0]]
+        for num in nums[1:]:
+            j = bisect.bisect_left(min_tails, num)
+            if j == len(min_tails):
+                min_tails.append(num)
+            else:
+                min_tails[j] = num
+        return len(min_tails)
+```
+
+
+- 時間計算量：`O(log n)`
+- 空間計算量：`O(n)`
+
+# 想定されるフォローアップ質問
+- もし `bisect_left` ではなく `bisect_right` を使った場合、結果は変わりますか？変わる場合、どのような入力で変わりますか？変わらない場合、その理由は何ですか？
+    - 本問では、`bisect_left` と `bisect_right` のどちらを使用しても結果は変わらない。なぜなら、求めるLISは"strictly increasing"であり、`tails`配列に同じ値が存在することはないからである。しかし、もし問題が"non-decreasing"なLISを求めるものであれば、`bisect_right`を使用することで、同じ値を持つ要素が`tails`に追加される可能性があり、結果が変わることになる。その場合は`bisect_right`を使用することで、同じ値を持つ要素がLISに含まれることを許容することになる。
+- このアルゴリズムではLISの『長さ』しか分かりませんが、実際の部分列そのものを復元するには、どのような変更が必要になりますか？
+    - このアルゴリズムでは、実際にはLISの「長さ」に加えて「末尾の要素」もわかる。そのため、末尾から
+
+
+
+# 次に解く問題の予告
+- [Subarray Sum Equals K - LeetCode](https://leetcode.com/problems/subarray-sum-equals-k/description/)
+- [String to Integer (atoi) - LeetCode](https://leetcode.com/problems/string-to-integer-atoi/description/)
+- [Number of Islands - LeetCode](https://leetcode.com/problems/number-of-islands/description/)

300_longest_increasing_subsequence_medium/min_tails_binary_search.py

@@ -0,0 +1,39 @@
+#
+# @lc app=leetcode id=300 lang=python3
+#
+# [300] Longest Increasing Subsequence
+#
+
+# @lc code=start
+
+
+class Solution:
+    def lengthOfLIS(self, nums: list[int]) -> int:
+        def bisect_left(array: list, x: int) -> int:
+            if not array:
+                return 0
+            if array[-1] < x:
+                return len(array)
+            left = -1
+            right = len(array)
+            while right - left > 1:
+                mid = (right + left) // 2
+                if array[mid] >= x:
+                    right = mid
+                else:
+                    left = mid
+            return right
+
+        if not nums:
+            return 0
+        min_tails = [nums[0]]
+        for num in nums[1:]:
+            index_to_insert = bisect_left(min_tails, num)
+            if index_to_insert == len(min_tails):
+                min_tails.append(num)
+            else:
+                min_tails[index_to_insert] = num
+        return len(min_tails)
+
+
+# @lc code=end

300_longest_increasing_subsequence_medium/min_tails_binary_search_bisect.py

@@ -0,0 +1,25 @@
+#
+# @lc app=leetcode id=300 lang=python3
+#
+# [300] Longest Increasing Subsequence
+#
+
+# @lc code=start
+import bisect
+
+
+class Solution:
+    def lengthOfLIS(self, nums: list[int]) -> int:
+        if not nums:
+            return 0
+        subsequence_min_tails = []
+        for num in nums:
+            index_to_insert = bisect.bisect_left(subsequence_min_tails, num)
+            if index_to_insert == len(subsequence_min_tails):
+                subsequence_min_tails.append(num)
+            else:
+                subsequence_min_tails[index_to_insert] = num
+        return len(subsequence_min_tails)
+
+
+# @lc code=end

300_longest_increasing_subsequence_medium/min_tails_linear.py

@@ -0,0 +1,25 @@
+#
+# @lc app=leetcode id=300 lang=python3
+#
+# [300] Longest Increasing Subsequence
+#
+
+# @lc code=start
+class Solution:
+    def lengthOfLIS(self, nums: list[int]) -> int:
+        # min_tails[i] is the minimum number of the tails of increasing subsequences with length (i+1)
+        if not nums:
+            return 0
+        min_tails = [nums[0]]
+        for num in nums[1:]:
+            if min_tails[-1] < num:
+                min_tails.append(num)
+                continue
+            for i, tail in enumerate(min_tails):
+                if num <= tail:
+                    min_tails[i] = num
+                    break
+        return len(min_tails)
+
+
+# @lc code=end

300_longest_increasing_subsequence_medium/step1.py

@@ -0,0 +1,24 @@
+#
+# @lc app=leetcode id=300 lang=python3
+#
+# [300] Longest Increasing Subsequence
+#
+
+# @lc code=start
+class Solution:
+    def lengthOfLIS(self, nums: list[int]) -> int:
+        if not nums:
+            return 0
+
+        max_lengths_so_far = [1] * len(nums)
+
+        for i in range(1, len(nums)):
+            length = 0
+            for j in range(i):
+                if nums[j] < nums[i]:
+                    length = max(length, max_lengths_so_far[j])
+            max_lengths_so_far[i] = length + 1
+        return max(max_lengths_so_far)
+
+
+# @lc code=end

300_longest_increasing_subsequence_medium/step2.py

@@ -0,0 +1,24 @@
+#
+# @lc app=leetcode id=300 lang=python3
+#
+# [300] Longest Increasing Subsequence
+#
+
+# @lc code=start
+class Solution:
+    def lengthOfLIS(self, nums: list[int]) -> int:
+        if not nums:
+            return 0
+
+        # max_length[i] is the maximum length of increasing subsequences that ends at nums[i]
+        max_lengths = [1] * len(nums)
+        for i in range(len(nums)):
+            max_previous_length = 0
+            for j in range(i):
+                if nums[j] < nums[i]:
+                    max_previous_length = max(max_previous_length, max_lengths[j])
+            max_lengths[i] = max_previous_length + 1
+        return max(max_lengths)
+
+
+# @lc code=end

300_longest_increasing_subsequence_medium/step3_binary_search.py

@@ -0,0 +1,37 @@
+#
+# @lc app=leetcode id=300 lang=python3
+#
+# [300] Longest Increasing Subsequence
+#
+
+# @lc code=start
+
+
+class Solution:
+    def bisect_left(self, nums: list[int], target: int) -> int:
+        if not nums:
+            return 0
+        left = -1
+        right = len(nums)
+        while right - left > 1:
+            mid = (right + left) // 2
+            if target <= nums[mid]:
+                right = mid
+            else:
+                left = mid
+        return right
+
+    def lengthOfLIS(self, nums: list[int]) -> int:
+        if not nums:
+            return 0
+        tails = []
+        for num in nums:
+            index = self.bisect_left(tails, num)
+            if index == len(tails):
+                tails.append(num)
+                continue
+            tails[index] = num
+        return len(tails)
+
+
+# @lc code=end