Avram 
Marius 
314CB 

  Tema 3
  
  3.1 Evaluare continua
  
   O mare parte din modul in care a fost rezolvat taskul este explicat in 
 interiorul fisierului ce contine functia 'eval_interpolator_c.m . Din aceasta
 cauza nu voi insista foarte tare asupra modului in care a fost realizata 
 fiecare interpolare si voi face o prezentare rapida si apoi voi analiza 
 convergenta fiecarei metode. 
 
   Pe langa cei doi parametri din cerinta am mai introdus parametrul 'kmax'.
 Acesta reprezinta k-ul maxim dupa care ciclul se opreste in cazul in care 
 metoda nu converge ( numarul maxim de pasi la care se refera cerinta ). 
   Existenta acestui parametru este verificata inca de la inceputul functiei,
 iar in cazul in care nu exista este initializata cu 5. Am considerat ca acest   
 numar este cel mai indicat pentru a nu avea un timp de executie prea lung.
   
   Cat timp toleranta nu este atinsa se vor calcula interpolantii in cele N+1 
 puncte, iar la fiecare pas k-ul creste si respectiv suportul de interpolare 2^k
 creste. In functie de tipul selectat se realizeaza interpolarea. 
 
 1).Lagrange 
    
    Modul de aplicare al metodei este relativ simplu. Se calculeaza polinomul
 Lagrange in fiecare punct (val). 
    
    Se observa ca pentru un numar mic de iteratii metoda converge, chiar mai 
 bine decat metoda splineurilor cubice: 
    
    eval_interpolator_c('1',0.01)
    
    k =  2
    E =  0.47513
    k =  3
    E =  0.12330
    k =  4
    E =  0.0091812
    k =  5
    E =  2.7188e-04
    ans =  32
    
    Insa daca se creeaza un suport de interpolare cu foarte multe puncte 
 gradul polinomul creste si metoda devine instabila. 
    
    eval_interpolator_c('1',0.00001,6)
    k =  2
    E =  0.47513
    k =  3
    E =  0.12330
    k =  4
    E =  0.0091812
    k =  5
    E =  2.7188e-04
    k =  6
    E =  3.2858e-04
    k =  7
    E =  9.9322e+14
    ans = Inf    => Metoda nu este convergenta pentru suport larg de interpolare

 2).Newton 
    Se calculeaza diferentele divizate, iar apoi se aplica formula pentru 
 calculul polinomului Newton. Comportamentul este identic cu cel al metodei 
 Lagrange: pentru tolerante mici metoda pare sa convearga insa apoi devine 
 instabila. 
    
    eval_interpolator_c('2',0.01)
    k =  2
    E =  0.47513
    k =  3
    E =  0.12330
    k =  4
    E =  0.0091812
    k =  5
    E =  2.7188e-04
    ans =  32

   
    eval_interpolator_c('2',0.0001)
    k =  2
    E =  0.47513
    k =  3
    E =  0.12330
    k =  4
    E =  0.0091812
    k =  5
    E =  2.7188e-04
    k =  6
    E =  0.015027
    ans = Inf       => Metoda nu converge, pentru suport larg de interpolare 

 3).Spline liniar
    In faza incipienta sa cauta splineul caruia ii apartine punctul (unul 
 dintre  cele N+1 puncte, denumit in contextul functiei val). Se calculeaza 
 coeficientii pentru splineul respectiv, iar apoi se calculeaza valoarea in 
 punctul respectiv.
    Desi tindem sa credem ca metoda ar converge pe masura ce crestem suportul 
 de interpolare eroarea ramane constanta si chiar creste de la un pas la altul.
 Acest lucru se datoreaza faptului ca metoda este destul de inexacta.
    
    eval_interpolator_c('3',0.01,5)
    k =  2
    E =  0.48658
    k =  3
    E =  0.63012
    k =  4
    E =  0.51027
    k =  5
    E =  0.52269
    k =  6
    E =  0.53032
    ans = Inf     =>Metoda nu converge
 
 4).Splineuri cubice naturale
    Conditiile de interpolare in acest caz duc la formarea unui sistem de 
 ecuatii. In functie de tipul functiei spline (natural sau tensionat) 
 conditiile sunt diferite. Am preferat sa rezolv sistemul de ecuatii cu 
 operatorul '\' datorita faptului ca rezolvarea sistemelor de ecuatii 
 liniare nu reprezinta scopul acestei teme. 
    Ca si in cazul anterior am cautat splineul ce contine punctul dorit 
 si apoi dupa aflarea coeficientilor se afla valoarea interpolantului 
 in punctul respectiv. 
    Metoda splineurilor cubice converge indiferent de cat de mare este 
 suportul de interpolare. 

    eval_interpolator_c('4',0.01)
    k =  2
    E =  0.46907
    k =  3
    E =  0.16897
    k =  4
    E =  0.032228
    k =  5
    E =  0.0045739
    k =  6
    E =  0.0010211
    ans =  64  
    
    eval_interpolator_c('4',0.0001)
    k =  2
    E =  0.46907
    k =  3
    E =  0.16897
    k =  4
    E =  0.032228
    k =  5
    E =  0.0045739
    k =  6
    E =  0.0010211
    k =  7
    E =  2.4580e-04
    k =  8
    E =  6.0609e-05
    k =  9
    E =  1.5068e-05
    ans =  512      => Metoda converge 

 5).Splineuri cubice tensionate
    Modul de interpolare in acest caz este asemanator cu cel de la 
 punctul 4. Insa acum exista conditiile pentru capete, lucru care modifica 
 putin sistemul de ecuatii. De asemenea si aceasta metoda converge 
 indiferent cat de larg este spatiul de interpolare. 
   
    eval_interpolator_c('5',0.01)
    k =  2
    E =  0.80705
    k =  3
    E =  0.19688
    k =  4
    E =  0.031736
    k =  5
    E =  0.0045991
    k =  6
    E =  0.0011007
    ans =  64   => Metoda converge 
 
 6).Polinomul de apoximare trigonometric(Fourrier) 
    Baza trigonometrica este 1/sqrt(2),sin(x),cos(x),...,sin(n*x),cos(n*x). 
 Coeficientii se calculeaza dupa formulele prezentate la curs. Iar apoi
 se calculeaza polinomul de aproximare trigonometric. 
    Se observa ca metoda converge insa mai incet decat daca am folosi 
 splineuri cubice, in sensul ca diferente dintre erori de la un pas la 
 altul sunt mai mici:
    
    eval_interpolator_c('6',0.01)
    k =  2
    E =  0.57664
    k =  3
    E =  0.44620
    k =  4
    E =  0.31964
    k =  5
    E =  0.30607
    k =  6
    E =  0.30000
    ans =  64    =>Metoda converge 

  Se observa astfel ca metoda splineurilor cubice (naturale) este cea mai buna
 si mai exacta metoda de interpolare.