Relatório do Trabalho II

Aluno: Gustavo Vidigal Schulgin
RA: 16814327
Disciplina: Física Básica I - ICMC/USP
Professor: Prof. Dr. Fernando F. Paiva
Data: 14/09/2025

---

Introdução

O objetivo desse trabalho é resolver um problema inspirado no Problema conceitual 92 do Capítulo 3 do livro do Tipler:

92 Uma bola é lançada de um solo plano a um ângulo de 55° acima da horizontal, com uma rapidez inicial de 22 m/s. Ela cai sobre uma superfície dura e repica, atingindo uma altura máxima igual a 75 por cento daquela atingida no primeiro arco de trajetória. (Ignore a resistência do ar.)

• (a) Qual é a altura máxima atingida no primeiro arco parabólico?
• (b) A que distância horizontal do ponto de lançamento a bola caiu pela primeira vez?
• (c) A que distância horizontal do ponto de lançamento a bola caiu pela segunda vez? Suponha que a componente horizontal da velocidade se mantém constante, na colisão da bola com o chão. \emph{Dica: Você não pode supor que a bola abandonou o chão, após a colisão, a um mesmo ângulo acima da horizontal que no lançamento inicial.}

Adaptei algumas partes do problema para torná-lo mais objetivo e mais difícil:

Uma bola é lançada de um solo plano a um ângulo 0 acima da horizontal, a uma rapidez inicial r. Supondo que, a cada vez que a bola atinge o chão, sua rapidez é reduzida, tornando-se P (0 < P < 1) da rapidez inicial.

• (a) Qual é o alcance da bola após um quique?
• (b) E após 50 quiques?
• (c) Qual é o alcance máximo da bola?

---

Raciocínio utilizado

A princípio, temos que nossas variáveis são 0 (o ângulo de lançamento), r (a rapidez do lançamento), P (o coeficiente de redução da rapidez após cada quique) e q (o número de quiques). Podemos, adicionalmente, inserir uma variável g para a aceleração da gravidade.

A ideia é utilizar uma linguagem de programação para simular o movimento da bola e calcular os valores pedidos pelo enunciado.

O passo-a-passo é o seguinte:

1. Calcular o movimento da bola no primeiro quique, ou seja, para a rapidez r e ângulo 0.
2. Calcular o movimento da bola no segundo quique, para rapidez r.p, ângulo 0 e posição inicial igual à posição final do quique anterior.
3. Repetir os passos anteriores, sempre atualizando a posição inicial dos quiques e reduzindo a rapidez, até obter o número de quiques desejado.

Perceba que o ângulo não é alterado, uma vez estamos considerando que a bolinha é lançada em uma altura h = 0 e atinge o solo em h = 0. Como a trajetória dos quiques pode ser descrita como uma parábola - e parábolas são simétricas - então o ângulo de lançamento será sempre o mesmo.

---

Fórmulas físicas utilizadas na resolução

Dada uma rapidez r e um ângulo 0, podemos calcular os módulos dos vetores das velocidades rx e ry`:

rx = r.cos(0) [1]

ry = r.sen(0) [2]

O movimento parabólico da bolinha também pode ser decomposto em duas componentes X e Y:

Sx = S0x + rx.t [3]

Sy = S0y + ry.t - g.t²/2 [4]

Observe, aliás, que S0y é sempre 0.

---

Resolução do Problema utilizando Python

O código pode ser acessado por meio desse GitHub - FIS-TrabII

Introdução

Foi utilizada a linguagem de programação Python (versão 3.12.3) para resolver o exercício.

O algoritmo envolve iterar q vezes e calcular a trajetória da bolinha para a rapidez r.p^(i-1), onde 1 <= i <= q é a i-ésima execução/movimento parabólico que a bolinha executa. As funções x(t) e y(t) calculam as posições x e y da bolinha, respectivamente, em intervalos de tempo dt = 0.0001s.

Os pontos da trajetória da bolinha são plotados em um gráfico utilizando a biblioteca matplotlib para visualização adicional.

Implementação e comentários do código

Bibliotecas

As bibliotecas utilizadas serão a math (padrão) - para cálculos trigonométricos - e a matplotlib - para plotagem do gráfico

import matplotlib.pyplot as plt
from math import sin, cos, radians, trunc

Variáveis

Em seguida, o usuário pode inserir as variáveis que desejar para o problema.

#Variáveis globais
g = 10 #aceleração da gravidade
teta = 10 #ângulo de lancamento
r = 10 #rapidez inicial
p = 0.75 #redução da rapidez
quiques = 50 #número de quiques

Funções físicas

As funções x e y possuem, como parâmetros, as rapidezes rx e ry, respectivamente, o instante e as posições iniciais s0x e s0y. Elas são implementações diretas das equações [3] e [4].

Já a função vel calcula as componentes ry e ry da rapidez, dados r e 0. Elas também são implementações diretas das equações [1] e [2]. É importante ressaltar, aqui, que 0 é dado em graus.

#Funções que definem a posição a partir de Vx e Vy
def x(rx, tempo, s0):
    return rx*tempo + s0
def y(ry, tempo, s0):
    return ry*tempo - (g/2)*tempo**2 + s0
#Componentes rx e ry a partir da rapidez
def vel(rapidez, teta):
    rad = radians(teta)
    return arredondar(cos(rad), 5)*rapidez, arredondar(sin(rad), 5)*rapidez

A função cos(), da math, por causa de aproximações e cálculos feitos pela própria linguagem Python, estava retornando 6.10^(-7) para cos(pi). Por isso, decidi implementar uma função de arredondamento, que arredonda esse valor para 0:

#Função de arredondamento
def arredondar(valor, precisao):
    v = valor*(10**precisao)
    if v - trunc(v) >= 0.5:
        return trunc(v+1)/(10**precisao)
    else:
        return trunc(v)/(10**precisao)

Cálculo dos quiques

O cálculo dos quiques é feito a partir da função mostrada abaixo. A função calcPos() calcula todos os quiques requisitados para a função, dados 0, q, r e p.

Para cada quique, o programa calcula o ponto da trajetória da bolinha no instante seguinte (a partir de 0, os instantes são em intervalos de 0.0001s) - utilizando as funções vel para cálculo das componentes da rapidez e x e y para a posição. Por fim, o programa adiciona esses pontos da trajetória em dois vetores pontosX e pontosY - para plotagem posterior.

Caso a bolinha atinja o chão (caso em que sua posição em y é menor ou igual a 0), então a iteração para, a rapidez é reduzida e a posição inicial s0 (na componente x) é atualizada.

A variável tempo representa o instante relativo ao início da trajetória naquele quique, e não o tempo decorrido desde o lançamento inicial.

#Calcula os quiques
def calcPos(teta, quiques, r, p):
    pontosX = []
    pontosY = []
    rapidez = r
    tempo = 0
    s0 = 0
    #Para cada quique
    for q in range(0, quiques):
        #Calcula os pontos até encostar o chão de novo
        while True:
            rx, ry = vel(rapidez, teta)
            sx = x(rx, tempo, s0)
            sy = y(ry, tempo, 0)
            #Verifica se encostou o chão e define nova posição inicial
            if sy < 0:
                s0 = sx
                break
            #Adiciona na plotagem
            pontosX.append(sx)
            pontosY.append(sy)
            #Incrementa tempo
            tempo += 0.0001
        #Redução da rapidez e redefinição do tempo (para iniciar uma nova parábola)
        rapidez *= p
        tempo = 0
    #retorna 2 vetores das componentes X e Y dos pontos e o alcance
    return pontosX, pontosY, max(pontosX)

Execução

A execução do programa se dá de forma simples com o seguinte trecho, o qual é responsável por calcular a trajetória, imprimir o alcance e plotar o gráfico.

pontosX, pontosY, alcance = calcPos(teta, quiques, r, p)
print("Alcance:", alcance)
plt.scatter(pontosX, pontosY, s=1)

Resolução dos itens a), b) e c)

Como o programa permite uma resolução com quaisquer variáveis, iremos utilizar, como exemplo, os valores r = 10 m/s, g = 10 m/s², 0 = 45 e p = 75%.

1. Para quiques = 1, temos um alcance de 3.42 m.
2. Para quiques = 50, temos um alcance de 7.82 m.
3. Podemos definir um número de quiques arbitrariamente grande. Para quiques = 100000, temos um alcance de 7.82 m (com um pouco mais de aproximação). Isso significa que, com 50 quiques, a bolinha já se movimenta pouco horizontalmente.

Trajetória da bolinha, para 100000 quiques

---