2025-11-11a

Author: passplease

Chirpy/_posts/2025-08-05-集合论笔记（第二卷）.md

@@ -208,9 +208,11 @@ $$
 (a)  $\pi :(X,\in)\cong (L_{\beta},\in)$<br>
 (b)如果  $Y\subseteq X$  是一个传递集合,那么  $(\forall x\in Y(\pi (x) = x))$<br>
 (c)  $(\forall x\in X(\pi (x)\leq x))$
+> 其中$L$是使用$\mathfrak D$从$\varnothing$开始，一层层套娃最终得到的全部可以定义出的集合形成的论域，类似地，$L[U]$则表示使用$\mathfrak D_U$一层层套娃得到的论域。而且对于$L[U]$也有类似的定理（详细可见219页，或书200页）
+
 ### 理解
 首先，我们注意到一个基本事实：$\beta$一定是一个极限序数，这是基于$X$中的一个事实：若有序数$\alpha\in X$，则$\forall n<\omega(\alpha+n\in X)$，这是任何子模型$X$都应该满足的。那么，如果$\beta$是一个后继序数，那么$X$中的序数数目肯定也只是后继序数个了，但是这显然是不可能的。<br><br>
-接下来就是关于这个定理本质的理解了，看书之后我们会看到这个定理最主要的两个应用——在证明$\mathrm{ZF} + (V=L)\vdash\mathrm{GCH}$和$\mathrm{ZF} + (V = L) \vdash "存在一个钻石序列"$中最后时刻的决定性压缩——将$\omega_1$压缩到一个可数序数$\alpha$。分析这两个证明过程，这里面最关键的两步分别是**构造可数同质子模型$M$** 以及 **将$M$映射（压缩）到可数层$L_\beta$**，接下来我们分别来分析一下这两个关键步骤。<br><br>
+接下来就是关于这个定理本质的理解了，看书之后我们会看到这个定理最主要的两个应用——在证明$\mathrm{ZF} + (V=L)\vdash\mathrm{GCH}$和$\mathrm{ZF} + (V = L) \vdash “存在一个钻石序列”$中最后时刻的决定性压缩——将$\omega_1$压缩到一个可数序数$\alpha$。分析这两个证明过程，这里面最关键的两步分别是**构造可数同质子模型$M$** 以及 **将$M$映射（压缩）到可数层$L_\beta$**，接下来我们分别来分析一下这两个关键步骤。<br><br>
 #### 构造可数子模型$M$
 首先，为什么可以这样构造，这个很简单，使用斯科伦函数构造斯科伦闭包（一定存在，这个意思是用给定的可数个集合一步步套[可定义集合](../集合论第二卷概念辨析/#mathfrak-d)，最终套出来的模型）。其次，这个模型不仅仅构造出来就可以，它还满足一些基本的性质，而这些性质对我们后面的映射至关重要。最主要的，这样构造出来的模型一定是可数的大小，从而必定不含有不可数个的序数，从而$M\cap\omega_1=\alpha<\omega_1$（自然，这个$\alpha$是一个极限序数，原因上面说过了），也就是说如果进行映射（压缩），$\omega_1$下面缺少了很多的序数，其必定塌缩下来到可数的地位。而且由于可数，最终凝聚化映射所映射到的也一定是一个可数层的$L_\beta$。
 #### $M$压缩到可数层

Chirpy/_posts/2025-09-09-集合论第二卷概念辨析.md

@@ -140,6 +140,21 @@ $$
 $$
 
 可定义子集与幂集是不同的，比如对于$\mathfrak D(\mathbb N),\mathfrak P(\mathbb N)$，两者肯定不同（即使加上选择公理），因为前者只有可数个，而后者则不可数。原因在于表达式的数量是可数的，所以我们只能定义极少的一部分子集来。
+#### 推广
+对此符号和可定义子集概念，书上在214页（书195页）对概念进行了推广，将可定义的概念推广到**相对可定义** ，允许在定义集合时使用一个一元谓词$U$，极大地扩展了定义的灵活性，对此有如下符号和定义：<br><br>
+设$U$是一个一元谓词（要注意**本质上$U$可以是一个类** ，而$U\cap M$一定是集合）,设$M$是一个非空传递集合,$A \subseteq M$称$A$是$M$的在语言$\mathcal{L}_{\in ,U}$下的可定义子集,简称为相对于$U$可定义子集,当且仅当
+
+$$
+\left( \begin{array}{l}{\exists n\in \omega \exists a\in [M]^{n}\exists \phi (x_{0},\dots ,x_{n - 1},x_{n})\in \mathcal{L}_{\in ,U}\not\in\mathcal{L}_{\in ,U}\not\in\mathcal{L}_{\in ,U}\not\in\mathcal{L}_{\in ,U}\not\in\mathcal{L}_{\in ,U}\not\in\mathcal{L}_{\in ,U}\not\in\mathcal{L}_{\in ,U}\not\in\mathcal{L}_{\in ,U}\not\in\mathbb{Z}\not\in\mathcal{L}_{\in ,U}\not\in\mathcal{L}_{\in ,U}\not\in\mathcal{L}_{\in ,U}\not\in\mathcal{L}_{\in ,U}\not\in\mathcal{L}_{\in ,U}\not\in\mathcal{L}_{\in ,U}\not\in\mathcal{L}_{\in ,U}\right).} \end{array}
+$$
+
+并引入符号
+
+$$
+\mathfrak D_U(M)=\{A\subseteq M\mid A是M的相对于U可定义的子集\}
+$$
+
+而且如果$U$是一个集合，引理1.15所述的各项[性质](#mathfrak-d)也都予以保留
 ### $\mathcal L_{\kappa ,\gamma}$
 页数：209页(书190页)<br>
 语言$\mathcal L_{\kappa ,\gamma}$定义如下：<br>
@@ -151,4 +166,5 @@ $$
 (5)它的每一个表达式都由上述符号递归地形成
 ## 一些映射符号
 ### $\operatorname{cl}$
+页数：156页(书137页)<br>
 $\operatorname{cl}(X)$指对集合$X$的哥德尔集合运算下的闭包，$\operatorname{cl}_J(X)$则是指简朴集合运算下的闭包。

Chirpy/_posts/2025-11-08-使用ZeroTier.md

@@ -0,0 +1,54 @@
+---
+title: 使用ZeroTier进行内网穿透
+author: me
+date: 2025-11-08 13:05:00 +0800
+description: 使用ZeroTier搭建自己使用的网络服务
+categories: [计算机,网络]
+tags: [计算机]
+---
+## 起因
+前段时间购买了一个x86的工控主机，然后给它安装了Ubuntu系统，考虑到它耗电量低，计划用它部署一些自己很常用的网络服务，或者其他什么的（多使用docker），开始昨天搞的时候发现自己家没有任何公网ip，包括Ipv4和Ipv6都没有公网Ip，所以只能寄希望于内网穿透，内网穿透我还是用过不少了，不过这里我选择的是[ZeroTier](https://my.zerotier.com/)做内网穿透软件，因为它是使用的P2P模式，两个设备是直接相互连接的，不经过第三方服务器，所有设备也都处于同一个虚拟局域网下，和其他内网穿透软件相同。下面是AI总结的它和其他软件的区别
+
+| 特性/软件      | ZeroTier                    | 传统VPN (OpenVPN, WireGuard Server) | 反向代理/隧道 (frp, ngrok)      | 端口转发 (Port Forwarding)  |
+|:-----------|:----------------------------|:----------------------------------|:--------------------------|:------------------------|
+| **网络模型**   | 虚拟局域网 (Layer 2 Mesh VPN)    | 客户端-服务器                           | 客户端-中继服务器-公网访问者           | 路由器-内网设备                |
+| **穿透层级**   | Layer 2 (以太网层)              | Layer 3 (IP层)                     | 应用层/传输层 (HTTP, TCP, UDP)  | 传输层 (TCP, UDP)          |
+| **连接方式**   | P2P 直连为主，无法直连时中继            | 客户端连接到服务器中转                       | 客户端连接到中继服务器，公网用户访问中继      | 公网用户访问路由器，路由器转发到内网设备    |
+| **访问范围**   | 加入网络的**所有设备**可相互访问          | 访问**VPN服务器所在内网**                  | 暴露**内网特定服务/端口**到公网        | 暴露**内网特定设备特定端口**到公网     |
+| **公网IP需求** | **不需要**（双方都不需要公网IP，依赖NAT穿透） | VPN服务器需要公网IP（或端口转发到服务器）           | 中继服务器需要公网IP               | 路由器需要公网IP（或配合DDNS）      |
+| **易用性**    | 高，客户端安装即用，Web管理             | 中等，服务器搭建配置相对复杂                    | 中等，需要搭建中继服务器或使用SaaS服务     | 中等，需要登录路由器进行配置，可能涉及DDNS |
+| **安全性**    | 端到端加密，内部网络隔离                | 端到端加密，依赖服务器配置，所有流量经服务器            | 隧道加密，但数据流经第三方中继服务         | 无额外加密，直接暴露服务，安全性最低      |
+| **适用场景**   | 组建虚拟团队网络，远程访问多台设备，共享文件，联机游戏 | 远程访问公司内网，科学上网，保护隐私                | 发布内网Web服务，远程调试SSH，发布游戏服务器 | 家庭影音服务器，远程摄像头访问，NAS访问   |
+
+而且考虑到我需要在我的安卓手机、Windows电脑、Ubuntu工控机上都要安装，考虑平台兼容性和安装便捷性，我最终选择的ZeroTier。下面我们看看怎么在所有设备上安装它。
+## 安装
+在安装之前，我们首先需要去[官网](https://my.zerotier.com/)上注册一个账户，在注册时官网就会教你先配置两个设备在网络中，后面所有新添加的设备都需要去官网上同意加入，然后使用官网新添加的网络ID，在电脑上连接进入网络，官网确认之后就完成添加了。所有设备进入网络都需要官网确认，所以下面的教程我就不会再提及这一部分了。**（这里的网络ID后面还看得到，也不是非得记住，为了演示方便，下面我假设这个ID是`1234567890abcdef`）**
+### Ubuntu安装
+首先给我的工控机安装，安装很简单，直接`apt`安装就好了
+```shell
+sudo apt update
+sudo apt install zerotier-one
+```
+这里我最开始看的教程让我先`curl`获取一个什么脚本，然后运行脚本，结果我安装之后安装目录就错了，`zerotier-one`和`zerotier-cli`也没添加到`PATH`中去，`zerotier-one.service`也找不到，完全用不了，所以最后我还是先删除了最初下载的全部文件，然后重新下载的，所以我也建议直接使用`apt`安装。<br><br>
+安装之后，使用如下命令启动ZeroTier
+```shell
+sudo systemctl start zerotier-one
+```
+然后如下命令配置其开机自启动
+```shell
+sudo systemctl enable zerotier-one
+```
+接下来使用如下命令加入网络
+```shell
+sudo zerotier-one join 1234567890abcdef
+```
+如下命令可以确认连接状态
+```shell
+sudo zerotier-cli status
+```
+### Windows安装
+然后在我的电脑上安装，对于Windows安装，需要去[官网](https://www.zerotier.com/download/)下载安装包，然后双击安装就好了，操作和Ubuntu类似，直接命令行操作就好了，不过开机自启会在系统右下方的托盘中（如图）
+![Windows开机自启.png](/commons/posts/ZeroTile%E5%86%85%E7%BD%91%E7%A9%BF%E9%80%8F/Windows%E5%BC%80%E6%9C%BA%E8%87%AA%E5%90%AF.png)
+然后启动一个**以管理员身份运行** 的命令行窗口加入网络即可
+### 手机安装
+手机上安装找到ZeroTile的应用程序，下载安装即可（我手机自带的应用商店还找不到ZeroTile，是使用Google Play找到下载的）然后点击添加网络，输入网络ID即可。不过这时在官网上你可能还看不到手机，我是稍微等了一会官网上才跳出来的，然后去给手机授权即可。