diff --git a/README.md b/README.md index e13865e..b703797 100644 --- a/README.md +++ b/README.md @@ -11,10 +11,10 @@ seismic imaging project. ## Quickstart Seigen requires the installation of Firedrake and must be run from -within the Firedrake virtual environment. To first install Firedrake +within the Firedrake virtual environment (venv). To first install Firedrake please follow these [instructions](http://www.firedrakeproject.org/download.html#). -Once Firedrake is installed and the virtual environment is activated, you can install +Once Firedrake is installed and the venv is activated, you can install Seigen using the following commands: ``` @@ -22,9 +22,15 @@ git clone https://github.com/opesci/seigen.git pip install -e seigen ``` +## Documentation + +The documentation can be built by navigating to the `docs` directory and running `make html` at the command line. A new `build` folder will then be created containing the documentation in HTML format. + +Details regarding the model equations and the discretisation and solution procedure are provided, along with a description of the pulse propagation application (see `tests/pulse`). This acts as an example of how to set up a simulation in Seigen. + ## Licence -Seigen is open-source software and is released under the [MIT License](https://opensource.org/licenses/MIT). See the file ``LICENSE.md`` for more information. +Seigen is open-source software and is released under the [MIT License](https://opensource.org/licenses/MIT). See the file `LICENSE.md` for more information. ## Contact diff --git a/codemeta.json b/codemeta.json new file mode 100644 index 0000000..cf85b9f --- /dev/null +++ b/codemeta.json @@ -0,0 +1,17 @@ +{ + "@context": "https://raw.githubusercontent.com/mbjones/codemeta/master/codemeta.jsonld", + "@type": "Code", + "author": [ + + ], + "identifier": "", + "codeRepository": "https://github.com/opesci/seigen", + "datePublished": "2018-06-06", + "dateModified": "2018-06-06", + "dateCreated": "2018-06-06", + "description": "Seigen is a finite element-based elastic wave equation solver for seimological problems.", + "keywords": "seismology, seismic modelling, numerical modelling, code generation, finite element method, elastic wave equation", + "license": "MIT", + "title": "Seigen", + "version": "v0.9-beta" +} diff --git a/docs/source/discretisation.rst b/docs/source/discretisation.rst new file mode 100644 index 0000000..f514155 --- /dev/null +++ b/docs/source/discretisation.rst @@ -0,0 +1,87 @@ +Discretisation and solution procedure +===================================== + +The model equations are discretised using the Galerkin finite element method, and are advanced forward in time using a fourth-order leapfrog scheme. These are described below. + +Spatial discretisation +---------------------- + +The discretisation of the governing equations in space is performed using the Galerkin finite element method. As a first step, the weak form of the elastic wave equation is derived by multiplying through by a test function :math:`\mathbf{w} \in H^1(\Omega)^d`, where :math:`H^1(\Omega)^d` is the first Hilbertian Sobolev space of dimension :math:`d`, and integrating over the domain :math:`\Omega` by parts on the RHS. For the velocity equation in the velocity-stress formulation, this yields + +.. math:: \int_\Omega{\mathbf{w}\cdot\rho\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}}\ \mathrm{dV} = -\int_\Omega{\mathbb{T}\cdot\nabla\mathbf{w}}\ \mathrm{dV} + \int_{\partial\Omega_e}{(\mathbf{w}\cdot\mathbb{T}|_{\partial\Omega_e})\cdot\mathbf{n}_e}\ \mathrm{dS} + \int_{\partial\Omega}{(\mathbf{w}\cdot\mathbb{T})\cdot\mathbf{n}}\ \mathrm{ds} + :label: weak_form_velocity + +where :math:`\mathbf{n}` is the vector normal to the domain boundary, :math:`\partial\Omega`, and :math:`\mathbf{n}_e` is the vector normal to the facet of element :math:`e`, :math:`\partial\Omega_e`. Given this weak form, a solution :math:`\mathbf{u} \in H^1(\Omega)^d` is sought for all test functions :math:`\mathbf{w} \in H^1(\Omega)^d`. + +Discrete representations for both :math:`\mathbf{w}` and :math:`\mathbf{u}`, given by a linear combination of basis functions :math:`\{\phi_i\}_{i=1}^{N_e}`, which are discontinuous across element facets, are then used to replace them in :eq:`weak_form_velocity`: + +.. math:: \mathbf{w} = \sum_{i=1}^{N_e} \phi_i\mathbf{w}_i, + :label: discrete_test_function + +.. math:: \mathbf{u} = \sum_{j=1}^{N_e} \phi_j\mathbf{u}_j, + :label: discrete_velocity_trial_function + +where :math:`N` is the total number of solution nodes. The stress field :math:`\mathbb{T}` is also represened by its own set of basis functions :math:`\{\psi_i\}_{i=1}^{N_e}` + +.. math:: \mathbb{T} = \sum_{k=1}^{N_e} \psi_k\mathbb{T}_k. + :label: discrete_stress_trial_function + +Note that the underlying Firedrake framework permits the use of a range of basis function types and high-order function spaces, and it is assumed in Seigen that both the velocity and stress fields share the same function space. + +By substituting :eq:`discrete_test_function`, :eq:`discrete_velocity_trial_function` and :eq:`discrete_stress_trial_function` into :eq:`weak_form_velocity`, and applying the fact that :math:`\mathbf{w}_i` are arbitrary, this yields + +.. math:: \sum_{j=1}^{N_e}\int_{\Omega_e}{\phi_i\cdot\rho\phi_j}\ \mathrm{dV}\ \frac{\partial\mathbf{u}_j}{\partial t} = -\sum_{k=1}^{N_e}\int_{\Omega_e}{\psi_k\cdot\nabla\phi_i}\ \mathrm{dV}\ \mathbb{T}_k + \sum_{k=1}^{N_e}\int_{\partial\Omega_e}{(\phi_i\cdot\mathbb{T}|_{\partial\Omega_e})\cdot\mathbf{n}_e}\ \mathrm{dS} + \sum_{k=1}^{N_e}\int_{\partial\Omega}{(\phi_i\cdot\mathbb{T})\cdot\mathbf{n}}\ \mathrm{ds} + :label: weak_form_velocity + +for all :math:`\phi_i` in element :math:`e`. The volume integrals and interior facet integrals have been restricted to an individual element :math:`e` here because the discontinuous formulation results in each element becoming its own independent problem. + +First-order upwinding +~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ + +As a result of the discontinuous nature of the solution fields and test functions at element boundaries, the values of :math:`\mathbb{T}|_{\partial\Omega_e}` and :math:`\mathbf{u}|_{\partial\Omega_e}` in the facet integral terms must be treated carefully. For this work we use a first-order upwinding scheme such that the average values of :math:`\mathbb{T}` and :math:`\mathbf{u}` across the facets are used. + +The discrete system +~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ + +The end result is a discrete system of size :math:`N \times N` for both the velocity and stress equations: + +.. math:: \mathbf{M}\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t} = \mathbf{D}\mathbb{T}, + +where + +.. math:: \mathbf{M}_{ij} = \int_{\Omega_e}{\phi_i\rho\phi_j\ \mathrm{dV}}, + +.. math:: \mathbf{D}_{ij} = -\int_{\Omega_e}{\psi_j\cdot\nabla\phi_i}\ \mathrm{dV} + \int_{\partial\Omega_e}{(\phi_i\cdot\mathbb{T}|_{\partial\Omega_e})\cdot\mathbf{n}_e}\ \mathrm{dS} + \int_{\partial\Omega}{(\phi_i\cdot\mathbb{T})\cdot\mathbf{n}}\ \mathrm{ds} + +The coefficients of the discrete representation of :math:`\mathbf{u}` must be solved for using a numerical solution method. A similar procedure can be performed on the stress equation. + +Temporal discretisation +----------------------- + +A fourth-order explicit leap-frog scheme is used to treat the time derivatives in the elastic wave equation. This is based on a truncated Taylor series expansion of the velocity and stress fields whilst staggering their solutions by half a time unit. Hence, the velocity is first solved to obtain a solution at time level :math:`n+1` using information about the stress at time :math:`n+\frac{1}{2}`. This new velocity solution is then in turn used to solve for the stress field at time :math:`n+\frac{3}{2}`. Mathematically, this is written as + +.. math:: \mathbf{u}^{n+1} = \mathbf{u}^{n} + \Delta t \frac{\partial\mathbf{u}^{n+\frac{1}{2}}}{\partial t} + \frac{\Delta t^3}{24}\frac{\partial^3\mathbf{u}^{n+\frac{1}{2}}}{\partial t^3} + +.. math:: \mathbb{T}^{n+\frac{3}{2}} = \mathbb{T}^{n + \frac{1}{2}} + \Delta t \frac{\partial\mathbb{T}^{n+1}}{\partial t} + \frac{\Delta t^3}{24}\frac{\partial^3\mathbb{T}^{n+1}}{\partial t^3} + +where the higher-order terms (:math:`O(\Delta t^5)`) have been neglected. The remaining time derivatives can be evaluated using auxiliary fields which need to be solved for at each time-step: + +.. math:: \mathbf{u}^{n+1} = \mathbf{u}^{n} + \Delta t \mathbf{u}^{n+\frac{1}{2}}_{\bigstar} + \frac{\Delta t^3}{24}\mathbf{u}^{n+\frac{1}{2}}_{\bigstar\bigstar} + +.. math:: \mathbb{T}^{n+\frac{3}{2}} = \mathbb{T}^{n + \frac{1}{2}} + \Delta t \mathbb{T}^{n+1}_{\bigstar} + \frac{\Delta t^3}{24} \mathbb{T}^{n+1}_{\bigstar\bigstar} + +These auxiliary fields are defined as + +.. math:: \mathbf{u}^{n+\frac{1}{2}}_{\bigstar} = f(\mathbb{T}^{n + \frac{1}{2}}) +.. math:: \mathbb{T}^{n + \frac{1}{2}}_{\bullet} = g(\mathbf{u}^{n+\frac{1}{2}}_{\bigstar}) +.. math:: \mathbf{u}^{n+\frac{1}{2}}_{\bigstar\bigstar} = f(\mathbb{T}^{n + \frac{1}{2}}_{\bullet}) + +and + +.. math:: \mathbb{T}^{n+1}_{\bigstar} = g(\mathbf{u}^{n+1}) +.. math:: \mathbf{u}^{n+1}_{\bullet} = f(\mathbb{T}^{n+1}_{\bigstar}) +.. math:: \mathbb{T}^{n+1}_{\bigstar\bigstar} = g(\mathbf{u}^{n+1}_{\bullet}) + +where :math:`f` and :math:`g` are the right-hand sides of the velocity and stress equations (from the velocity-stress formulation of the elastic wave equation), respectively. + +Both implicit and explicit solvers are available, encapsulated within the ``ElasticLF4`` class. The former solves the individual finite element variational problems (defined above) implicitly using a linear solver, while the latter explicitly solves the variational problems by assembling RHS vectors and multiplying them with the according global inverse mass matrix. diff --git a/docs/source/equations.rst b/docs/source/equations.rst index ca5b15f..b293356 100644 --- a/docs/source/equations.rst +++ b/docs/source/equations.rst @@ -26,7 +26,7 @@ Absorption term An optional sponge/absorption region can be specified through an additional term, :math:`-\sigma\mathbf{u}`, added to the velocity equation. Source term -~~~~~~~~~~~~~~~ +~~~~~~~~~~~ An optional source can be specified through an additional term, :math:`\mathbf{S}`, added to the velocity equation. diff --git a/docs/source/example.rst b/docs/source/example.rst index 811e6de..52dd4f3 100644 --- a/docs/source/example.rst +++ b/docs/source/example.rst @@ -1,7 +1,28 @@ -Example -======= +Example: Pulse propagation +========================== -The problem of a one-dimensional travelling pulse wave will be used here as an example of how to set up a simulation in Seigen. This involves a single Python file (``pulse_1d_lf4.py``) which describes the problem to be solved, and can be found in the ``tests/pulse`` directory. +A one-dimensional travelling pulse wave will be considered here as an example of how to set up a simulation in Seigen. This involves a single Python file (``pulse_1d_lf4.py``) which describes the problem to be solved, and can be found in the ``tests/pulse`` directory. + +Background +---------- + +This test case considered the propagation of a smooth wave across 0 :math:`\leq x \leq` 4 m. Not only does this allow one to check that the wave is propagating at the expected velocity, it also demonstrates that the wave does not dissipate over time as a result of the non-dissipative nature of the numerical scheme. + +The initial condition for the :math:`x`-component of velocity and :math:`xx`-component of stress are given by + +.. math:: \mathbf{u}_x = e^{-50(x-1)^2} + +.. math:: \mathbb{T}_{xx} = -e^{-50(x-1)^2} + +An absorption region was applied at both ends of the domain (0 :math:`\leq x \leq` 0.5 m and 3.5 :math:`\leq x \leq` 4.0 m), with an absorption coefficient of :math:`\sigma = 100`, to model an infinite domain and to prevent any spurious reflections off the end boundaries. + +The physical parameters were set to :math:`\mu` = 0.5 Pa, :math:`\lambda` = 0.25 Pa and :math:`\rho` = 1.0 :math:`\mathrm{kgm}^{-3}`. For discretisation purposes, a structured mesh of characteristic element length :math:`\Delta x` = 0.01 m was used. The time-step :math:`\Delta t` of 0.0025 s was set, corresponding to a maximum Courant number of 0.25, and the solutions were advanced forward in time until :math:`T` = 2.0 s. Both the velocity and stress fields were represented by piecewise-discontinuous linear (also known as P1-DG) polynomials, since this simulation did not require such a high degree of accuracy to demonstrate the robustness of the numerical scheme. + +The results in the figures below show how the pulse propagates from left to right, whilst displaying excellent agreement with the analytical solution derived by `Delcourte et al. (2009) `_. The :math:`x`-component of the velocity field is shown at :math:`t` = 0.25, 1.0 and 2.0 (from left to right). The pulse wave travels at the correct velocity of 1 :math:`\mathrm{ms}^{-1}`. The difference between the analytical and numerical solution, :math:`\epsilon`, is scaled by a factor of 10 to emphasise the insignificant dissipation over time. + +.. image:: ux_0.25.png +.. image:: ux_1.00.png +.. image:: ux_2.00.png Modules ------- @@ -67,7 +88,7 @@ Additional terms can be added to the solver by setting the ``absorption`` and/or elastic.absorption = Expression("x[0] >= 3.5 || x[0] <= 0.5 ? 100.0 : 0") Initial conditions -~~~~~~~~~~~~~~~~~~ +------------------ Expressions for velocity and stress at time t = 0 should be provided via the ``u0`` and ``s0`` solver attributes. Again, this uses ``Expresssion`` UFL objects. However, note that these need to be interpolated onto the DG function spaces used by the velocity and stress fields. diff --git a/docs/source/index.rst b/docs/source/index.rst index 20c9658..c595526 100644 --- a/docs/source/index.rst +++ b/docs/source/index.rst @@ -13,7 +13,7 @@ Contents: introduction equations - solvers + discretisation example Indices and tables diff --git a/docs/source/solvers.rst b/docs/source/solvers.rst deleted file mode 100644 index fcb7ca4..0000000 --- a/docs/source/solvers.rst +++ /dev/null @@ -1,6 +0,0 @@ -Solvers -======= - -The model equations are discretised using the Galerkin finite element method, and are advanced forward in time using a fourth-order leapfrog scheme. The underlying Firedrake framework permits the use of a range of basis function types and high-order function spaces, and it is assumed in Seigen that both the velocity and stress fields share the same function space. - -Both implicit and explicit solvers are available, encapsulated within the ``ElasticLF4`` class. The former solves the individual finite element variational problems implicitly using a linear solver, while the latter explicitly solves the variational problems by assembling RHS vectors and multiplying them with the according global inverse mass matrix. diff --git a/docs/source/ux_0.25.png b/docs/source/ux_0.25.png new file mode 100644 index 0000000..8159c62 Binary files /dev/null and b/docs/source/ux_0.25.png differ diff --git a/docs/source/ux_1.00.png b/docs/source/ux_1.00.png new file mode 100644 index 0000000..ec52d91 Binary files /dev/null and b/docs/source/ux_1.00.png differ diff --git a/docs/source/ux_2.00.png b/docs/source/ux_2.00.png new file mode 100644 index 0000000..314d80d Binary files /dev/null and b/docs/source/ux_2.00.png differ diff --git a/paper.bib b/paper.bib new file mode 100644 index 0000000..b0f1751 --- /dev/null +++ b/paper.bib @@ -0,0 +1,466 @@ +% This file was created with JabRef 2.10. +% Encoding: ISO8859_1 + + +@Article{OelgaardWells_2010, + Title = {{Optimisations for quadrature representations of finite element tensors through automated code generation}}, + Author = {{\O}lgaard, K. B. and Wells, G. N.}, + Journal = {{ACM Transactions on Mathematical Software}}, + Year = {2010}, + Number = {1}, + Volume = {37}, + + Doi = {10.1145/1644001.1644009}, + Owner = {christian}, + Timestamp = {2013.05.02} +} + +@Article{Alnaes_etal_2014, + Title = {{Unified Form Language: A domain-specific language for weak formulations of partial differential equations}}, + Author = {Aln{{\ae}}s, M. S. and Logg, A. and {{\O}}lgaard, K. B. and Rognes, M. E. and Wells, G. N.}, + Journal = {ACM Transactions on Mathematical Software}, + Year = {2014}, + Number = {2}, + Volume = {40}, + + Owner = {christian}, + Timestamp = {2013.05.02} +} + +@Book{Ayachit_2015, + Title = {{The ParaView Guide: A Parallel Visualization Application}}, + Author = {Ayachit, Utkarsh}, + Publisher = {Kitware}, + Year = {2015}, + + Owner = {christian}, + Timestamp = {2018.06.08} +} + +@Article{delaPuente_etal_2009, + Title = {{Dynamic rupture modeling on unstructured meshes using a discontinuous Galerkin method}}, + Author = {{de la Puente}, J. and Ampuero, J.-P. and K\"{a}ser, M.}, + Journal = {{Journal of Geophysical Research}}, + Year = {2009}, + Number = {B10}, + Volume = {114}, + + Doi = {10.1029/2008JB006271}, + Owner = {christian}, + Timestamp = {2015.05.26} +} + +@Article{delaPuente_etal_2008, + Title = {{Discontinuous Galerkin methods for wave propagation in poroelastic media}}, + Author = {{de la Puente}, J. and Dumbser, M. and K\"{a}ser, M. and Igel, H.}, + Journal = {Geophysics}, + Year = {2008}, + Number = {5}, + Pages = {T77--T97}, + Volume = {73}, + + Doi = {10.1190/1.2965027}, + Owner = {christian}, + Timestamp = {2015.05.26} +} + +@InProceedings{Delcourte_etal_2009, + Title = {{A high-order Discontinuous Galerkin method for the seismic wave propagation}}, + Author = {Delcourte, S. and Fezoui, L. and Glinsky-Olivier, N.}, + Booktitle = {{ESAIM: Proceedings}}, + Year = {2009}, + Pages = {70--89}, + Volume = {27}, + + Owner = {christian}, + Timestamp = {2015.05.25} +} + +@InProceedings{DeVito_etal_2011, + Title = {{Liszt: A Domain Specific Language for Building Portable Mesh-based PDE Solvers}}, + Author = {DeVito, Z. and Joubert, N. and Palacios, F. and Oakley, S. and Medina, M. and Barrientos, M. and Elsen, E. and Ham, F. and Aiken, A. and Duraisamy, K. and Darve, E. and Alonso, J. and Hanrahan, P.}, + Booktitle = {{Proceedings of 2011 International Conference for High Performance Computing, Networking, Storage and Analysis}}, + Year = {2011}, + + Address = {New York, NY, USA}, + Pages = {9:1--9:12}, + Publisher = {ACM}, + Series = {SC '11}, + + Acmid = {2063396}, + Articleno = {9}, + Doi = {10.1145/2063384.2063396}, + ISBN = {978-1-4503-0771-0}, + Location = {Seattle, Washington}, + Numpages = {12}, + Owner = {christian}, + Timestamp = {2015.06.01}, + Url = {http://doi.acm.org/10.1145/2063384.2063396} +} + +@Article{DumbserKaser_2006, + Title = {{An arbitrary high-order discontinuous Galerkin method for elastic waves on unstructured meshes -- II. The three-dimensional isotropic case}}, + Author = {Dumbser, M. and K\"{a}ser, M.}, + Journal = {{Geophysical Journal International}}, + Year = {2006}, + Number = {1}, + Pages = {319--336}, + Volume = {167}, + + Doi = {10.1111/j.1365-246X.2006.03120.x}, + Owner = {christian}, + Timestamp = {2015.05.26} +} + +@Book{Elman_etal_2005, + Title = {{Finite Elements and Fast Iterative Solvers: with applications in incompressible fluid dynamics}}, + Author = {Elman, H. C. and Silvester, D. J. and Wathen, A. J.}, + Publisher = {Oxford University Press}, + Year = {2005}, + + Owner = {christian}, + Timestamp = {2015.08.06} +} + +@Article{Garvin_1956, + Title = {{Exact Transient Solution of the Buried Line Source Problem}}, + Author = {Garvin, W. W.}, + Journal = {{Proceedings of the Royal Society of London, Series A}}, + Year = {1956}, + Number = {1199}, + Volume = {234}, + + Doi = {10.1098/rspa.1956.0055}, + Owner = {christian}, + Timestamp = {2015.05.26} +} + +@TechReport{Glinsky_etal_2010, + Title = {{A High-order Discontinuous Galerkin Scheme for Elastic Wave Propagation}}, + Author = {Glinsky, N. and Moto Mpong, S. and Delcourte, S.}, + Institution = {INRIA}, + Year = {2010}, + Number = {inria-00543664}, + + Owner = {christian}, + Timestamp = {2015.05.25} +} + +@Article{Graves_1996, + Title = {{Simulating seismic wave propagation in 3D elastic media using staggered-grid finite differences}}, + Author = {Graves, Robert W.}, + Journal = {{Bulletin of the Seismological Society of America}}, + Year = {1996}, + Number = {4}, + Pages = {1091--1106}, + Volume = {86}, + + Eprint = {http://www.bssaonline.org/content/86/4/1091.full.pdf+html}, + Owner = {christian}, + Timestamp = {2015.06.01} +} + +@Article{Hermann_etal_2011, + Title = {{Non-conforming hybrid meshes for efficient 2-D wave propagation using the Discontinuous Galerkin Method}}, + Author = {Hermann, V. and K\"{a}ser, M. and Castro, C. E.}, + Journal = {{Geophysical Journal International}}, + Year = {2011}, + Number = {2}, + Pages = {746--758}, + Volume = {184}, + + Doi = {10.1111/j.1365-246X.2010.04858.x}, + Owner = {christian}, + Timestamp = {2015.05.26} +} + +@Article{KaserDumbser_2006, + Title = {{An arbitrary high-order discontinuous Galerkin method for elastic waves on unstructured meshes -- I. The two-dimensional isotropic case with external source terms}}, + Author = {K\"{a}ser, M. and Dumbser, M.}, + Journal = {{Geophysical Journal International}}, + Year = {2006}, + Number = {2}, + Pages = {855--877}, + Volume = {166}, + + Doi = {10.1111/j.1365-246X.2006.03051.x}, + Owner = {christian}, + Timestamp = {2015.05.26} +} + +@Article{Kelly_etal_1976, + Title = {{Synthetic seismograms: a finite-difference approach}}, + Author = {K. R. Kelly and R. W. Ward and Sven Treitel and R. M. Alford}, + Journal = {{Geophysics}}, + Year = {1976}, + Number = {1}, + Pages = {2--27}, + Volume = {41}, + + Doi = {10.1190/1.1440605}, + Eprint = { http://dx.doi.org/10.1190/1.1440605 +}, + Owner = {christian}, + Timestamp = {2015.06.01} +} + +@Article{Kirby_2004, + Title = {{Algorithm 839: FIAT, a New Paradigm for Computing Finite Element Basis Functions}}, + Author = {Kirby, R. C.}, + Journal = {ACM Transactions on Mathematical Software}, + Year = {2004}, + Number = {4}, + Pages = {502-516}, + Volume = {30}, + + Doi = {10.1145/1039813.1039820}, + Owner = {christian}, + Timestamp = {2013.05.02} +} + +@Article{KomatitschTromp_2003, + Title = {{A perfectly matched layer absorbing boundary condition for the second-order seismic wave equation}}, + Author = {Komatitsch, D. and Tromp, J.}, + Journal = {{Geophysical Journal International}}, + Year = {2003}, + Number = {1}, + Pages = {146--153}, + Volume = {154}, + + Doi = {10.1046/j.1365-246X.2003.01950.x}, + Owner = {christian}, + Timestamp = {2015.05.27} +} + +@Article{Liu_etal_2014, + Title = {{A comparative study of finite element and spectral element methods in seismic wavefield modeling}}, + Author = {Liu, Y. and Teng, J. and Lan, H. and Si, X. and Ma, X.}, + Journal = {Geophysics}, + Year = {2014}, + Number = {2}, + Pages = {T91--T104}, + Volume = {79}, + + Doi = {10.1190/geo2013-0018.1}, + Owner = {christian}, + Timestamp = {2015.05.26} +} + +@Book{Logg_etal_2012, + Title = {{Automated Solution of Differential Equations by the Finite Element Method}}, + Author = {Logg, A. and Mardal, K.-A. and Wells, G. N. and others}, + Editor = {Logg, A. and Mardal, K.-A. and Wells, G. N.}, + Publisher = {Springer}, + Year = {2012}, + + Doi = {10.1007/978-3-642-23099-8}, + Owner = {christian}, + Timestamp = {2013.07.28} +} + +@Article{LoggWells_2010, + Title = {{DOLFIN: Automated finite element computing}}, + Author = {Logg, A. and Wells, G. N.}, + Journal = {ACM Transactions on Mathematical Software}, + Year = {2010}, + Number = {2}, + Volume = {37}, + + Doi = {10.1145/1731022.1731030}, + Owner = {christian}, + Timestamp = {2013.05.02} +} + +@Article{Luporini_etal_2015, + Title = {{Cross-Loop Optimization of Arithmetic Intensity for Finite Element Local Assembly}}, + Author = {F. Luporini and Varbanescu, A. L. and Rathgeber, F. and Bercea, G.-T. and Ramanujam, J. and Ham, D. A. and Kelly, P. H. J.}, + Journal = {{ACM Transactions on Architecture and Code Optimization}}, + Year = {2015}, + Number = {4}, + Volume = {11}, + + Doi = {10.1145/2687415}, + Owner = {christian}, + Timestamp = {2014.07.03} +} + +@InProceedings{Markall_etal_2013, + Title = {{Performance-Portable Finite Element Assembly Using PyOP2 and FEniCS}}, + Author = {Markall, Graham R. and Rathgeber, Florian and Mitchell, Lawrence and Loriant, Nicolas and Bertolli, Carlo and Ham, David A. and Kelly, Paul H.J.}, + Booktitle = {{28th International Supercomputing Conference, ISC, Proceedings}}, + Year = {2013}, + Pages = {279-289}, + Publisher = {Springer}, + Series = {{Lecture Notes in Computer Science}}, + Volume = {7905}, + + Owner = {christian}, + Timestamp = {2015.06.01} +} + +@Article{MerceratGlinsky_2015, + Title = {{A nodal high-order discontinuous Galerkin method for elastic wave propagation in arbitrary heterogeneous media}}, + Author = {Mercerat, E. D. and Glinsky, N.}, + Journal = {Geophysical Journal International}, + Year = {2015}, + Number = {2}, + Pages = {1101--1118}, + Volume = {201}, + + Doi = {10.1093/gji/ggv029}, + Owner = {christian}, + Timestamp = {2015.05.26} +} + +@Article{Rathgeber_etal_2017, + Title = {{Firedrake: Automating the Finite Element Method by Composing Abstractions}}, + Author = {Rathgeber, F. and Ham, D. A. and Mitchell, L. and Lange, M. and Luporini, F. and McRae, A. T. T. and Bercea, G.-T. and Markall, G. R. and Kelly, P. H. J.}, + Journal = {{ACM Transactions on Mathematical Software}}, + Year = {2017}, + Number = {3}, + Volume = {43}, + + Doi = {10.1145/2998441}, + Owner = {christian}, + Timestamp = {2013.09.27} +} + +@InProceedings{Rathgeber_etal_2012, + Title = {{PyOP2: A High-Level Framework for Performance-Portable Simulations on Unstructured Meshes}}, + Author = {Florian Rathgeber and Graham R. Markall and Lawrence Mitchell and Nicolas Loriant and David A. Ham and Carlo Bertolli and Paul H.J. Kelly}, + Booktitle = {{High Performance Computing, Networking Storage and Analysis, SC Companion}}, + Year = {2012}, + Pages = {1116-1123}, + Publisher = {IEEE Computer Society}, + + Owner = {christian}, + Timestamp = {2015.06.01} +} + +@Article{Ricker_1953, + Title = {{The form and laws of propagation of seismic wavelets}}, + Author = {Ricker, N.}, + Journal = {Geophysics}, + Year = {1953}, + Number = {1}, + Pages = {10--40}, + Volume = {18}, + + Doi = {10.1190/1.1437843}, + Owner = {christian}, + Timestamp = {2015.05.29} +} + +@Book{Schroeder_etal_2006, + Title = {{The Visualization Toolkit}}, + Author = {Schroeder, Will and Martin, Ken and Lorensen, Bill}, + Publisher = {Kitware}, + Year = {2006}, + + Owner = {christian}, + Timestamp = {2018.06.08} +} + +@Article{Tago_etal_2014, + Title = {{SMART layers: a simple and robust alternative to PML approaches for elastodynamics}}, + Author = {Tago, J. and M\'{e}tivier, L. and Virieux, J.}, + Journal = {{Geophysical Journal International}}, + Year = {2014}, + Number = {2}, + Pages = {700--706}, + Volume = {199}, + + Doi = {10.1093/gji/ggu298}, + Eprint = {http://gji.oxfordjournals.org/content/199/2/700.full.pdf+html}, + Owner = {christian}, + Timestamp = {2015.06.01} +} + +@InProceedings{Tang_etal_2011, + Title = {{The Pochoir Stencil Compiler}}, + Author = {Tang, Y. and Chowdhury, R. A. and Kuszmaul, B. C. and Luk, C.-K. and Leiserson, C. E.}, + Booktitle = {{Proceedings of the Twenty-third Annual ACM Symposium on Parallelism in Algorithms and Architectures}}, + Year = {2011}, + + Address = {New York, NY, USA}, + Pages = {117--128}, + Publisher = {ACM}, + Series = {SPAA '11}, + + Acmid = {1989508}, + Doi = {10.1145/1989493.1989508}, + ISBN = {978-1-4503-0743-7}, + Location = {San Jose, California, USA}, + Numpages = {12}, + Owner = {christian}, + Timestamp = {2015.06.01} +} + +@Article{Virieux_1986, + Title = {{P-SV wave propagation in heterogeneous media: Velocity-stress finite-difference method}}, + Author = {Virieux, J.}, + Journal = {Geophysics}, + Year = {1986}, + Number = {4}, + Pages = {889--901}, + Volume = {51}, + + Doi = {10.1190/1.1442147}, + Owner = {christian}, + Timestamp = {2015.05.25} +} + +@Article{WeissShragge_2013, + Title = {{Solving 3D Anisotropic Elastic Wave Equations on Parallel GPU Devices}}, + Author = {Weiss, R. M. and Shragge, J.}, + Journal = {Geophysics}, + Year = {2013}, + Number = {2}, + Pages = {F7--F15}, + Volume = {78}, + + Doi = {10.1190/geo2012-0063.1}, + Owner = {christian}, + Timestamp = {2015.05.26} +} + +@Article{Wenk_etal_2013, + Title = {{Regional wave propagation using the discontinuous Galerkin method}}, + Author = {Wenk, S. and Pelties, C. and Igel, H. and K\"{a}ser, M.}, + Journal = {{Solid Earth}}, + Year = {2013}, + Number = {1}, + Pages = {43--57}, + Volume = {4}, + + Doi = {10.5194/se-4-43-2013}, + Owner = {christian}, + Timestamp = {2015.06.01} +} + +@Article{Wilcox_etal_2010, + Title = {{A high-order discontinuous Galerkin method for wave propagation through coupled elastic--acoustic media}}, + Author = {Wilcox, L. C. and Stadler, G. and Burstedde, C. and Ghattas, O.}, + Journal = {{Journal of Computational Physics}}, + Year = {2010}, + Number = {24}, + Pages = {9373--9396}, + Volume = {229}, + + Doi = {10.1016/j.jcp.2010.09.008}, + Owner = {christian}, + Timestamp = {2015.05.26} +} + +@Book{ZienkiewiczTaylor_2000, + Title = {{The Finite Element Method}}, + Author = {Zienkiewicz, O. C. and Taylor, R. L.}, + Publisher = {Butterworth-Heinemann}, + Year = {2000}, + Edition = {5th}, + Volume = {1: The Basis}, + + Owner = {christian}, + Timestamp = {2015.08.06} +} + diff --git a/paper.md b/paper.md new file mode 100644 index 0000000..bf169b6 --- /dev/null +++ b/paper.md @@ -0,0 +1,59 @@ +--- +title: 'Seigen: An application of code generation to high-order seismic modelling' +tags: + - seismology + - seismic modelling + - numerical modelling + - code generation + - finite element method + - elastic wave equation +authors: + - name: Christian T. Jacobs + orcid: 0000-0002-0034-4650 + affiliation: 1 + - name: Michael Lange + orcid: 0000-0002-3232-0127 + affiliation: 1 + - name: Fabio Luporini + orcid: 0000-0001-7161-2942 + affiliation: 1 + - name: Gerard J. Gorman + orcid: 0000-0003-0563-3678 + affiliation: 1 +affiliations: + - name: Imperial College London + index: 1 +date: 8 June 2018 +bibliography: paper.bib +--- + +# Summary + +## Motivation behind code generation + +Seismological modelling has traditionally involved the use of finite difference methods (FDMs) to solve the equations governing the propagation of acoustic and elastic waves [@Kelly_etal_1976, @Virieux_1986, @Graves_1996]. Such methods are relatively easy to implement, and direct addressing and regular memory access patterns means that good performance can be readily achieved [@Liu_etal_2014]. Therefore, a lot of effort has focused on optimising these models for use in seismic imaging on a wide range of hardware architectures. + +One way to increase the accuracy and computational efficiency is to use higher-order methods. As the order increases, the grid size (and therefore the timestep) can also increase. This is particularly important for elastic wave modelling because the shear waves (S-waves) generated have a smaller wavelength than the pressure wave (P-wave) and therefore require higher resolution. However, as the order of the FDM stencils increases, so does the cost of creating optimised implementations of these methods on modern many-core and multi-core platforms. + +Interest in stencil languages and compilers such as Liszt [@DeVito_etal_2011] and Pochoir [@Tang_etal_2011] has rapidly grown in recent years. Using a stencil language in effect allows for a seperation of concerns between those developing the numerical algorithms, and compiler specialists who optimise these parallel patterns onto different computer architectures. FDMs are readily expressed in stencil languages and this provides a programmatic route to generating implementations of high-order FDM stencils. However, FDM methods themselves have their own problems; the inherent structured nature of the underlying computational mesh is unable to follow realistic topography [@Liu_etal_2014], and is unsuitable for adapting to features in the subsurface model (e.g. one ideally would like a coarser mesh in salt domes where the wave velocity is much higher than the surrounding medium). + +Promising results have recently been published on high-order discontinuous Galerkin (DG) finite element methods (FEMs) [@DumbserKaser_2006, @KaserDumbser_2006, @delaPuente_etal_2008, @delaPuente_etal_2009, @Delcourte_etal_2009, @Hermann_etal_2011, @Wenk_etal_2013, @Tago_etal_2014, @MerceratGlinsky_2015]. FEMs are more suitable for simulations requiring unstructured meshes that conform well to arbitrary geometries. Much like high-order finite difference stencils, it would be beneficial if higher-order DG FEM methods could be generated with ease. + +Code generation techniques provided by the FEniCS framework [@Logg_etal_2012, @LoggWells_2010] and, more recently, the Firedrake framework [@Rathgeber_etal_2017], have provided a way to produce optimised finite element-based models from a high-level problem description. Model developers provide the weak form of the equations they wish to solve using a domain-specific language called the Unified Form Language (UFL) [@Alnaes_etal_2014], which then gets optimised and compiled down into C code [@Luporini_etal_2015]. A finite element tabulator called FIAT [@Kirby_2004] is used to construct arbitrary order polynomial spaces which is ideal for higher-order DG methods. Much like the FDM stencil compilers, these code generation frameworks provide a separation of concerns between application specialists and parallel computing experts. Furthermore, code generation techniques can potentially yield significant performance benefits over traditional 'static'/hard-coded finite element models which may be difficult or costly to optimise by hand. + +In addition to many-core CPUs, the field of seismic modelling has already begun to benefit from using more exotic hardware architectures such as GPUs [@WeissShragge_2013]. In the case of the Firedrake framework, the code generation workflow allows the model code to be targeted towards a particular hardware architecture using the PyOP2 library [@Rathgeber_etal_2012, @Markall_etal_2013], thereby future-proofing the model in the face of future high-performance computer architectures. + +## Seigen + +Seigen is one of the first known applications of code generation techniques to high-order, finite element-based seismological modelling. The elastic wave equation and its discretisation procedure are implemented in the high-level UFL domain-specific language, which does not need to be modified by the user. Setting up a simulation simply requires writing a short Python-based problem description file; this file imports Seigen's elastic wave solver module and specifies, for example, constants such as the Lame parameters and the timestep size, initial conditions, and a source/absorption term. The user can also select an arbitrary-order function space for the spatial discretisation, and a fourth-order leapfrog algorithm advances the equations forward in time. + +Upon execution of this problem description file, the Firedrake automated modelling framework converts the weak formulation of the governing equations and any additional expressions (e.g. for the user-specified initial conditions, source term, etc) into several C kernels which are then compiled and executed efficiently in parallel over the computational mesh to perform the simulation. All solution fields are written out in the VTK format [@Schroeder_etal_2006] for visualisation with tools such as ParaView [@Ayachit_2015]. + +The source code is available on GitHub (https://github.com/opesci/seigen) and has been released under the MIT License. + +# Acknowledgements + +This work is part of the Open Performance portablE SeismiC Imaging (OPESCI) project, funded by the Intel Parallel Computing Center at Imperial College London and SENAI CIMATEC. + +# References + diff --git a/seigen/data/marmhard.dat b/seigen/data/marmhard.dat deleted file mode 100644 index 42633e9..0000000 --- a/seigen/data/marmhard.dat +++ /dev/null @@ -1,46853 +0,0 @@ - 1500. - 1500. - 1662. - 1668. - 1674. - 1680. - 1786. - 1792. - 1798. - 1704. - 1710. - 1716. - 1772. - 1778. - 1644. - 1650. - 1656. - 1662. - 1708. - 1714. - 1720. - 1776. - 1782. - 1788. - 1744. - 1830. - 1836. - 1842. - 1698. - 1824. - 1750. - 1756. - 1722. - 1728. - 1764. - 1910. - 1866. - 1872. - 1948. - 1954. - 1960. - 1806. - 1922. - 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diff --git a/tests/eigenmode/README.md b/tests/eigenmode/README.md index b80b4f2..54e9bad 100644 --- a/tests/eigenmode/README.md +++ b/tests/eigenmode/README.md @@ -1,6 +1,17 @@ -## Performance analysis +# Summary -### Strong scaling +This test case is used to perform a convergence analysis in order to verify the correctness of the model's implementation, and to demonstrate that high-order convergence can be attained with the solution method. A time and space-dependent solution involving the propagation of an eigenmode is considered here. Four different structured unit meshes of increasing resolution are used to resolve the solution (dx = 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125). For each mesh, piecewise-discontinuous polynomial basis functions of degree 1, 2, 3 and 4 (also known as P1, P2, P3 and P4 basis functions) are employed, yielding a total of 16 simulations. Both two- and three-dimensional versions of this test case exist in this directory. + +To run the 2D and 3D simulations, respectively, run: + +python eigenmode_2d.py +python eigenmode_3d.py + +Other Python scripts exist for the purposes of performance analysis; these are described below. + +# Performance analysis + +## Strong scaling On the cluster run: ``` @@ -17,7 +28,7 @@ Plot locally with: python eigenmode_plot.py strong -i /results -o /plots -p 1 2 4 8 16 --dim 2 -N 256 --degree 4 --opt 4 ``` -### Spatial degree comparison +## Spatial degree comparison On the cluster run: ``` for NP in 16; do @@ -30,4 +41,4 @@ for NP in 16; do done done done -``` \ No newline at end of file +``` diff --git a/tests/explosive_source/README.md b/tests/explosive_source/README.md new file mode 100644 index 0000000..c19f581 --- /dev/null +++ b/tests/explosive_source/README.md @@ -0,0 +1,9 @@ +# Summary + +This test case considers the propagation of waves in a 2D rectangular domain following an explosion at a point source, based on the work by Garvin (1956; doi:10.1098/rspa.1956.0055). + +To run this simulation, execute "python explosive_source_lf4.py" at the command line. To plot the results and generate figures, run "python uy.py". + +# Acknowledgements + +Reference data presented by Glinsky et al. (2010), https://hal.inria.fr/inria-00543664/en, and used with permission from Nathalie Glinsky. diff --git a/tests/explosive_source/uy.py b/tests/explosive_source/uy.py index dc47f51..187bb6f 100644 --- a/tests/explosive_source/uy.py +++ b/tests/explosive_source/uy.py @@ -5,6 +5,7 @@ def reference_data(i): + """ Reference data presented by Glinsky et al. (2010), https://hal.inria.fr/inria-00543664/en, and used with permission from Nathalie Glinsky. """ f = open("REF-C%d" % i, "r") t = [] ux = [] diff --git a/tests/pulse/README.md b/tests/pulse/README.md new file mode 100644 index 0000000..887b5fe --- /dev/null +++ b/tests/pulse/README.md @@ -0,0 +1,5 @@ +# Summary + +This test case considers the propagation of a smooth wave across a 2D rectangular domain, defined by 0 <= x <= 4 m. Not only does this allow one to check that the wave is propagating at the expected velocity, it also demonstrates that the wave does not dissipate over time as a result of the non-dissipative nature of the numerical scheme. + +To run this simulation, execute "python pulse_1d_lf4.py" at the command line. The solution fields will be written to VTK files which can be visualised in programs such as ParaView.