tratamientoest.tex

\chapter{Tratamiento estadístico de datos\\ Statistical data analysis}
\chaptermark{Tratamiento de datos \textreferencemark\ Data analysis}
\epigraph{Dicen que las buenas mozas en Madrid han decidido, el gastar en vez de lengua una espada de dos filos.

Y si hay guerra en este invierno , los Valones y los Suizos llevarán en vez de espada guardapiés y rebocillo.}{El barberillo de Lavapiés. Luis Mariano de Larra}

\begin{flalign*}
	&\mathwitch*_{i=0}^{\infty}\Biggl \{&     
\end{flalign*}
\begin{paracol}{2}
\section{Secuencias de números aleatorios}
\sectionmark{Secuencias de números aleatorios. \textreferencemark\ Random number sequences.}
Se entiende por secuencia de número aleatorios, aquella en la que no es posible encontrar relación alguna entre un número de la secuencia y los que le preceden.

No es posible generar secuencias de números aleatorios con un computador. La razón es que un computador es una máquina completamente determinista; la salidas que puede producir cualquier programa son completamente predecibles. Solo los procesos físicos pueden ser realmente ---intrínsecamente--- aleatorios.

Sin embargo, es posible con un ordenador generar secuencias de números que simulan ser aleatorios. Estas secuencias reciben el nombre de secuencias de números \emph{pseudoaleatorios}.\index{Números pseudoaleatorios}

El primer algoritmo para obtener números pseudoaleatorios, lo desarrolló John Von Newman en 1946. Se conoce con el nombre de \emph{Middle Square}.\index{Middle Square} La idea consiste en elegir un número inicial, formado por $n$ cifras, que recibe el nombre de semilla.\index{Números aleatorios! Semilla} A continuación se eleva el número al cuadrado. Por último, se extraen las $n$ cifras centrales del número así generado, que constituye el segundo número en la secuencia de números aleatorios. Este número se vuelve a elevar al cuadrado y se extraen de el las $n$ cifras centrales que constituirán el tercer número aleatorio. Este proceso se repite tantas veces como números aleatorios se deseen generar.

Veamos un ejemplo con una semilla  formada por $n=8$ dígitos,
\switchcolumn
\section{Random number sequences}
\sectionmark{Secuencias de números aleatorios. \textreferencemark\ Random number sequences.}
A random number sequence is such that it is not possible to find any relationship among a number of the sequence and the previous ones.

It is impossible to generate random numbers using a computer, because a computer is a deterministic machine and then, the outputs of any computer program are always thoroughly predictable. Only physical process could be actually --intrinsically-- unpredictable.

Nevertheless, it is possible to use the computer for generating sequences of number that seem to be random. Such sequences are called \emph{pseudo-random} number sequences.\index[eng]{Pseudo-random numbers}

The first algorithm for obtaining pseudo-random numbers was developed by John Von Newman in 1946. Its is known as the \emph{Middle Square} method.\index[eng]{Middle Square} It starts from an initial number made up of n digits which is called the seed.\index[eng]{Random numbers! Seed} Then, the square of the number is calculated and the n central digits of the result are taken as a new number that will be the second one of the random number sequence. This new number is squared and the n central digit of the result are taken to form the three number of the random sequence. The process is repeated so many times as random numbers you wish to generate.

Let see an example, using a n=8 digits seed, 

\end{paracol}
\begin{align*}
semilla/seed=&87289689 \rightarrow
87289689^2={\color{red}7619}\ 48980571\ {\color{red}6721}\\
&48980571\rightarrow
48980571^2={\color{red}2399}\ 09633548\ {\color{red}6041}\\
&09633548 \rightarrow
09633548^2={\color{red}0092}\ 80524706\ {\color{red}8304}\\
&80524706 \rightarrow
80524706^2={\color{red}6484}\ 22827638\ {\color{red}6436}\\
&22827638\\
&\ \ \ \ \ \vdots
\end{align*}
\begin{paracol}{2}
El siguiente código de Python, permite obtener una lista de números pseudoaleatorios mediante el método \emph{Middle Square}
\switchcolumn
The next Python code allows us to get a list a pseudo-random number using the Middle Square method,
\end{paracol}

\inputminted[
frame=lines,
framesep=2mm,
baselinestretch=1.2,
%bgcolor=LightGray,
label=middlesquare.py,
fontsize=\footnotesize,
linenos
]{python}{./codigos/tratamiento_datos/middlesquare.py}

\begin{paracol}{2}
Las secuencias generadas mediante el método \emph{middle square} no son aleatorias, cada número viene completamente determinado por el número anterior. Sin embargo, dichas secuencias parecen aleatorias. La figura \ref{fig:middlesquare} muestra una secuencia de $100$ valores pseudoaleatorios generados mediante \emph{middle square}. Aparentemente, cada valor parece no guardar ninguna relación con los anteriores.

El método descrito, presenta sin embargo serios inconvenientes: Si la semilla contiene ceros o unos a la derecha, estos tienden a repetirse indefinidamente. Además todos los métodos inducen ciclos que hacen que los números generados comiencen a repetirse periódicamente. Por ejemplo, si empezamos con la semilla de cuatro dígitos $3708$,  La secuencia cae, tras generar los primeros cuatro números aleatorios, en un ciclo en el que los cuatro siguientes números generados se repiten indefinidamente.

\switchcolumn
Sequences generated using the middle square method are not random, each number is thoroughly determined by the previous one. Nevertheless, these sequences seems random. Figure \ref{fig:middlesquare} shows a sequence of 100 pseudo-random values generated using the middle square. Apparently, each value doesn't seem to have any relationship with the previous ones.

However, this method has significant drawbacks: if the seed contains zeros or ones on the right side, these values tend to repeat indefinitely. Besides, all methods induce cycles, which make the generated numbers begin to repeat periodically. For instance, If we begin with the four-digit seed $3708$, The sequence gets into a cycle after it generates the first four random numbers. The four subsequent numbers repeat indefinitely.
\end{paracol}
\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=12cm]{middlesquare.eps}
	\bicaption{Secuencia de $100$ números pseudoaleatorios generada mediante el método \emph{middle square}.}{$100$ pseudo-random numbers sequence generates using the \emph{middle square} method}
	\label{fig:middlesquare}
\end{figure}
\begin{align*}
semilla/seed=3708 \rightarrow
&3708^2={\color{red}13}\ 7492\ {\color{red}64}\\
&7492^2={\color{red}56}\ 1300\ {\color{red}64}\\
&1300^2={\color{red}01}\ 6900\ {\color{red}00}\\
&6900^2={\color{red}47}\ 6100\ {\color{red}00}\\
&6100^2={\color{red}37}\ 2100\ {\color{red}00}\\
&2100^2={\color{red}04}\ 4100\ {\color{red}00}\\
&4100^2={\color{red}16}\ 8100\ {\color{red}00}\\
&8100^2={\color{red}65}\ 6100\ {\color{red}00}\\
&6100^2={\color{red}37}\ 2100\ {\color{red}00}\\
&2100^2={\color{red}04}\ 4100\ {\color{red}00}\\
&4100^2={\color{red}16}\ 8100\ {\color{red}00}\\
&\ \ \ \vdots
\end{align*}

\begin{paracol}{2}
Además, en la secuencia generada puede observarse cómo los ceros situados a las derecha una vez que aparecen en la secuencia, se conservan siempre.

En los algoritmos de generación de números aleatorios, la idea es obtener números en el intervalo $[0,1]$. Para ello, se generan números entre $0$ y un número natural $m$ y luego se dividen los números generados, $X_n$ entre $m$,
\switchcolumn
Besides, it is possible to see how the the zeros locate at the right size, once they turn up, remain for ever.

Algorithms for random number generation are usually designed to generate numbers in the interval $[0,1]$. This is carried out generating a number between $0$ an a natural number $m$ and, after, dividing the generated numbers $X_n$ by $m$,  
\end{paracol}

\begin{equation*}
U_n=\frac{X_n}{m}
\end{equation*}

\begin{paracol}{2}
Usualmente, se elige para $m$ un valor tan grande como sea posible. 
En 1948 Lehmer propuso un algoritmo conocido con el nombre de \emph{linear congruential}. El algoritmo emplea cuatro elementos numéricos,

\begin{itemize}
\item[-] $I_0$, Semilla. Análoga a la del método \emph{middle square}.
\item[-] $m > I_0$, Módulo.  Se elige tan grande como sea posible. Cuanto mayor es el módulo, mayor es el periodo del ciclo inducido.
\item[-] $a$, Multiplicador. Debe elegirse de modo que $0\le a < m$
\item[-] $c$, Incremento. Debe elegirse de modo que $0\le c < m$
\end{itemize}
 
El algoritmo de obtención de la secuencia de números pseudoaleatorios se define en este caso como,

\switchcolumn
Usually, a value as large as possible is chosen for $m$. In 1948 Lehmmer proposed an algorithm known as \emph{linear congruential}. This algorithm uses four numerical items,

\begin{itemize}
	\item[-] $I_0$, Seed. Similar to \emph{middle square} method.
	\item[-] $m > I_0$, modulus.  it is chossen as large as posible. The larger the modulus the lager the period of the induced cycle.
	\item[-] $a$, Multiplier. Should be chosen to meet that $0\le a < m$
	\item[-] $c$, Increment. Should be chosen to meet that $0\le c < m$
\end{itemize}
 
 Then, the algorithm to obtain the sequence of random number is defined as,
\end{paracol}

\begin{equation*}
I_{n+1}=\text{rem}(a\cdot I_n+c, m)
\end{equation*}

\begin{paracol}{2}
Es decir, cada número se obtiene como el resto de la división entera del producto del multiplicador por el número aleatorio anterior más el incremento, divido entre el módulo. Por tanto, se trata de un número comprendido entre $0$ y $m-1$. 

El siguiente código permite calcular una secuencia de números aleatorios por el método \emph{linear congruential}

\switchcolumn
Each number is calculated as the remainder of the product of the multiplier and the previous random number, added to the increment, all divided by the modulus. This results in a number between 0 and m-1.

The following code calculates a sequence of random numbers using the \emph{linear congruential} method. 
\end{paracol}
\inputminted[
frame=lines,
framesep=2mm,
baselinestretch=1.2,
%bgcolor=LightGray,
label=linearcong.py,
fontsize=\footnotesize,
linenos
]{python}{./codigos/tratamiento_datos/linearcong.py}

\begin{paracol}{2}
Una variante del algoritmo descrito, frecuentemente empleada, se obtiene haciendo el incremento igual a cero, $c=0$. Dicha variante se conoce con el nombre de \emph{multiplicative congruential}, su expresión general sería,
\switchcolumn
We can get a frequently used variation of the linear congruential algorithm taking the increment equal to zero, $c=0$. Such variation is known as the \emph{multiplicative congruential} algorithm; a general expression for it would be, 
\end{paracol}
\begin{equation*}
I_{n+1}=\text{rem}(a\cdot I_n)
\end{equation*}
\begin{paracol}{2}
Dado que el resto de la división entera de un número cualquiera entre el módulo $m$ solo puede tomar valores enteros comprendidos entre $0$ y $m-1$, es fácil deducir que, en el mejor de los casos, podríamos obtener un ciclo de longitud $m$, antes de que secuencia de números aleatorios comenzara a repetirse. De ahí la importancia de elegir $m$ lo más grande posible. Por otra parte, los valores de $I_0$ e $c$, también influyen en la longitud de los ciclos inducidos.

Si ahora dividimos los numero aleatorios obtenidos por el modulo,  
\switchcolumn


Since the integer division of whatever number by the modulus $m$ can yield results between $0$ and $m-1$, it becomes clear that, in the best-case scenario, we can achieve a cycle of length $m$ before the sequence of random numbers starts to repeat. Hence, the importance of choosing a large as possible value for $m$. On the other hand, the values taken by $I_0$ and $c$ also influence the length of the induced cycles.

If we now divide the random number achieved by the modulus,
\end{paracol}
\begin{equation*}
x_n=\frac{I_n}{m} \Rightarrow x_n \in [0,1]
\end{equation*}

\begin{paracol}{2}
Los números así obtenidos pertenecen al intervalo $[0,1]$ y están regularmente distribuidos. 

En la década de los 60 del siglo pasado, La compañía IBM, desarrolló una función, conocida como \emph{Randu}, que utilizaba el algoritmo \emph{multiplicative congruential}. \emph{Randu} tenía definido un multiplicador $c=2^{16}+3$ y un módulo $m=2^{31}$. 
Se han desarrollado diferentes variante de \emph{Randu}, mejorando progresivamente su rendimiento. Una de las mejoras introducidas fue aumentar el número de semillas empleadas,

\switchcolumn
The number obtained belong to the interval $[0,1]$ and are regularly distributed.

In the last century sixties, IBM company developed a function known as \emph{Randu} which employed the \emph{multiplication congruential} algorithm. \emph{Randu} had defined a multiplier $c=2^{16}+3$ and modulus $m=2^{31}$.
Several variations of \emph{Randu} have been developed, gradually improving its performance. One of these improvements was to increase the number of seeds the algorithm uses.  
\end{paracol}
\begin{equation*}
I_{n+1}=\text{rem}(a\cdot I_n+b\cdot I_{n-1}+\cdots)
\end{equation*} 
\begin{paracol}{2}
Este método permite obtener periodos mayores.
\switchcolumn
This method leads to get longer periods
\end{paracol}

\begin{paracol}{2}
\subsection{El generador de números aleatorios de Numpy.}\label{rand} Se trata de un generador mucho mas evolucionado que los ejemplo descritos hasta ahora. Es muy versátil y se puede emplear de muchas maneras. Aquí vamos a ver solo una introducción. Para una visión detallada, lo mejor es leer la documentación de numpy, (\emph{random sampling}).

Numpy contiene un módulo  \mintinline{python}|numpy.random|, que contiene todas las funciones necesarias para generar secuencias de números aleatorios. Lo primero que debemos hacer, es crear un ``generador'' (\emph{generator}) de numeros aleatorios. La manera más sencilla de hacerlo es emplear la función \mintinline{python}|default_rng()|,

\switchcolumn
\subsection{Numpy's random numbers generator.} The numpy's random number generator is fairly more evolved than the example generators described so far. It is highly versatile and can be use in many different ways. Here, we are going to offer only an introduction. For a detailed knowledge it is advisable to read numpy documentation, (\emph{random sampling}).

Numpy has a module \mintinline{python}|numpy.random|, which has all the functions needed to generate sequences of random numbers. The first step is to create a \emph{generator} of random numbers. The easiest way to do it is by using the function \mintinline{python}|default_rng()|,  
\end{paracol}
\begin{minted}{python}
	import numpy as np
	
	#lo primero de todo es crear un generador de números aleatorios
	#si no le indicamos semilla, el la toma del sistema operativo de modo no
	#determinista, es decir la secuencia de números generada no podrá volver 
	#a reproducirse.
	
	gen_num = np.random.default_rng()
\end{minted}
 
\begin{paracol}{2}
El  \emph{objeto} creado \mintinline{python}|gen_num| es un generador de números aleatorios. Lo hemos creado de la forma más sencilla posible. Como no le hemos indicado ningún valor para la semilla, el programa la toma directamente del sistema operativo de un modo aleatorio. Para obtener un número aleatorio en el intervalo $[0,1)$, llamamos directamente al generador que hemos creado.

\switchcolumn
The \emph{object} so created \mintinline{python}|gen_num| is a random number generator. We have create it in the most simple way. A we haven't supplied any value for the seed, the program takes it directly from the operative system in aleatory mode. To get a random number un the interval $[0,1)$, we call the generator we have created directly, 

\end{paracol}
\begin{center}
	\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{minted}{python}
In [2]: n1 = gen_num.random()
...: print('n1=',n1)
n1= 0.15431941570206298
\end{minted}
\end{minipage}
\end{center}
\begin{paracol}{2}
Si llamamos al generador con un valor entero como variable de entrada, nos generará un array de numpy con tantos elementos como indique el valor entero,
\switchcolumn
If we call the generator with an integer number as input variable, it will generate a numpy array with the a number of elements equal to the integer supplied.
\end{paracol}
\begin{center}
	\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{minted}{python}
In [7]: v = gen_num.random(3)
In [8]: v
Out[8]: array([0.07971535, 0.38433405, 0.03229333])
\end{minted}
\end{minipage}
\end{center}

\begin{paracol}{2}
\noindent y si introducimos una tupla o una lista con dos elementos $[m,n]$, devolverá una matriz de números aleatorios de dimensión $n\times m$,
\switchcolumn
\noindent and if we use a tuple or a list with two elements $[m,n]$, the generator will cast a matrix of random number with dimensions $n\times m$.
\end{paracol}

\begin{center}
	\begin{minipage}{0.8\textwidth}
\begin{minted}{python}
	In [9]: v = gen_num.random((3,4))
	In [10]: v
	Out[10]: 
	array([[0.06821989, 0.6214247 , 0.07793149, 0.99665013],
	[0.11869072, 0.6999295 , 0.8089612 , 0.02035995],
	[0.67626972, 0.48921183, 0.38843264, 0.71577686]])
\end{minted}
	\end{minipage}
\end{center}

\begin{paracol}{2}
Cada vez, que ejecutamos, el generador, éste avanza en la secuencia de números aleatorios generados, a partir de la semilla de inicialización. El método empleado por el generador para obtener la secuencia de números aleatorios, se conoce con el nombre de \emph{Permuted Congruential Generator}. Es el método por defecto, y el único que podemos emplear si creamos nuestro generador empleando la función \mintinline{python}|default_rng()|. Podemos comprobar cual es método empleado por un generador empleando la función print de python,
\switchcolumn
Any time we run the generator, it goes ahead in the sequence of random numbers	generated from the initial seed. The method used by the generator to get the sequence of random numbers in known as \emph{Permuted Congruential Generator}. It is the default method and the only one we can use if we create a generator using the \mintinline{python}|default_rng()|. We can determine which method a generator is using by utilizing Python's print function.
\end{paracol}

\begin{center}
	\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\begin{minted}{python}
In [12]: print(gen_num)
Generator(PCG64)
\end{minted}
\end{minipage}
\end{center}

\begin{paracol}{2}
Nos devuelve las iniciales del método y el número 64 que hace referencia al tamaño en bits de los números enteros empleados en el proceso de generación. EL periodo de este método es de $2^{128}$.

Podemos controlar la secuencia de números aleatorios suministrando una semilla a la función \mintinline{python}|default_rng|, de este modo, podemos reproducir cualquier secuencia de numeros aleatorios, siempre que creemos un nuevo generador con la misma semilla,
\switchcolumn
It retrieves the acronym of the method and the number 64 which refers to the bit size of the number used in the random generation process. The period of this method is $2^{128}$.

We can control the random number sequence supplying a seed to function \mintinline{python}|default_rng|; in this way, we can reproduce any sequence of random numbers, provided we create a new generator with the same seed. 
\end{paracol}
\begin{minted}{python}
In [48]: 
...: gen_num_1 = np.random.default_rng(100)
...: #generamos una secuencia de números aleatorios
...: for i in range(10):
...:     print(gen_num_1.random())
...: #volvemos a inicializar el generador con la misma semilla
...: gen_num_1 = np.random.default_rng(100)
...: #y nos reproduce exactamente la misma secuencia
...: print('\n Secuencia repetida. Repited Sequence \n')
...: for i in range(10):
...:     print(gen_num_1.random())
0.8349816305020089
0.5965540269678873
0.2888632416912036
0.042951570694211405
0.9736543951062142
0.5964717040646884
0.7902631644187212
0.9103393812954528
0.6881544475917452
0.18999147338772315

Secuencia repetida. Repited sequence

0.8349816305020089
0.5965540269678873
0.2888632416912036
0.042951570694211405
0.9736543951062142
0.5964717040646884
0.7902631644187212
0.9103393812954528
0.6881544475917452
0.18999147338772315
\end{minted}

\begin{paracol}{2}
Las posibilidades del generador de números aleatorios de numpy son muy amplias. Puede generar números aleatorios empleando distintos tipos de distribuciones de probabilidad (ver sección siguiente), permutar aleatoriamente arrays de números, seleccionar números de modo aleatorio de entre una secuencia de enteros, etc. Para conocer a fondo el proceso, se aconseja consultar la ayuda de numpy.

\section{Probabilidad y distribuciones de probabilidad}
\sectionmark{Probabilidad y distribuciones. \textreferencemark\ Probability and distributions.}
La probabilidad es una propiedad asociada a los sucesos aleatorios. Decimos que un suceso es aleatorio cuando no depende de una causa determinista que nos permite predecir cuándo va a suceder. \index{Suceso Aleatorio}

\subsection{Sucesos aleatorios discretos.}
Obtener \emph{cara} o \emph{cruz} al lanzar una moneda al aire es un ejemplo sencillo de proceso aleatorio, ya que no es posible conocer de antemano cuál será el resultado del lanzamiento. La probabilidad da una medida de las posibilidades de que un determinado suceso aleatorio tenga lugar.

Volviendo al ejemplo de la moneda  lanzada al aire, las posibilidades son dos:
\begin{enumerate}
\item Que salga cara.
\item Que salga cruz.
\end{enumerate}
Ambos sucesos son igualmente probables tras un lanzamiento, uno de los dos debe darse necesariamente y no hay, en principio, ningún otro suceso posible. Podemos entonces asociar valores numéricos a la probabilidad con la que se dan las distintas posibilidades:
\begin{itemize}
\item La probabilidad de que salga cara o cruz ---cualquiera de las dos--- debe tener asociado el valor máximo ya que \emph{necesariamente} ha de salir cara o cruz.  Habitualmente se toma como valor máximo de un suceso aleatorio el valor $1$, que estaría asociado con el suceso necesario o cierto,
\begin{equation*}
P(\text{cara o cruz}) = 1
\end{equation*}

\item La probabilidad de que no salga ni cara ni cruz. Puesto que hemos establecido que ha de salir necesariamente cara o cruz, estamos ante un suceso imposible. A los sucesos imposibles se les asigna probabilidad $0$,
\begin{equation*}
P(\emptyset) = 0
\end{equation*}

\item La probabilidad de que salga cara. Como en una moneda cara y cruz son igualmente probables,  la probabilidad de sacar cara, sera la \emph{mitad} de la probabilidad de sacar cara o cruz,
\begin{equation*}
P(\text{cara})=\frac{1}{2}=0.5
\end{equation*}

\item La probabilidad de sacar cruz. De modo análogo al caso anterior será la mitad de la probabilidad de sacar cara o cruz, 

\begin{equation*}
P(\text{cruz})=\frac{1}{2}=0.5
\end{equation*} 
\end{itemize}
\switchcolumn
Numpy's random number generator has an extensive range of possibilities. It can generate random numbers using different kinds of probability distributions (see the next section), permuting random number arrays, randomly choosing a number from a sequence of integers, etc. For a complete description of Numpy's random number generator, it is advisable to check Numpy's help. 

\section{Probability and probability distributions.}\index[eng]{Random event}
\sectionmark{Probabilidad y distribuciones. \textreferencemark\ Probability and distributions.}
The probability is a property associated with random events. We say that an event is random whenever it does not depend on a deterministic cause, allowing us to forecast when the event will occur.

\subsection{Discrete random events.}
Tossing a coin to obtain either a \emph{head} or a \emph{tail} is a simple example of a random process, as it is impossible to know the result beforehand. Probability measures the odds of a specific event occurring.

Comming back to the coin tossing, there are two possibilities:
\begin{enumerate}
\item that you get head
\item that you get tail
\end{enumerate} 

Both events can occur with the same probability after the tossing, but, necessary, one of them has to occur, and there is not, in principle, any other possible event. We can then associate numerical values with the probability that any possible event will occur:

\begin{itemize}
	\item The probability of getting head or tail --whatever of them-- should have associated the maximum value because \emph{necessarily} we have to get head or tail. Usually, we take as the maximum value for the probability of a random event the value 1, which would be associated with the necessary or \emph{true} event,
	
\begin{equation*}
	P(\text{head or tail}) = 1
\end{equation*}

\item The probability of not getting either heads or tails in a coin flip represents an impossible event, as we know that we must obtain either heads or tails. Since this event cannot occur, we assign a probability value of 0 to it.

\begin{equation*}
	P(\emptyset) = 0
\end{equation*}

\item The probability of getting head. In a \emph{fair} coin, the probability of getting a head or tail is the same, so the probability of getting a head would be half the probability of getting a head or tail,
\begin{equation*}
	P(\text{head})=\frac{1}{2}=0.5
\end{equation*}

\item The probability of getting a tail, following the same argument as in the previous case, should also be half the probability of getting a head or tail
\begin{equation*}
	P(\text{tail})=\frac{1}{2}=0.5
\end{equation*} 
\end{itemize} 

\end{paracol}

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{probcaracruz.eps}
\bicaption{Distribución de probabilidad y probabilidad acumulada de los resultados de lanzar una moneda al aire.}{Probability distribution and cumulated probability of the results of tossing a coin.}
\label{fig:moneda}
\end{figure}

\begin{paracol}{2}
Lanzar una moneda o un dado, elegir una carta al azar, rellenar una quiniela, son ejemplos de fenómenos aleatorios discretos. Reciben este nombre, porque los sucesos posibles asociados al fenómeno son numerables, es decir, se pueden contar.  Así por ejemplo en el lanzamiento de una moneda solo hay dos sucesos posibles (cara o cruz), en el de un dado hay seis (cada una de sus caras), en el de la elección de una carta hay cuarenta (si se trata de una baraja española) etc. El conjunto de sucesos posibles recibe el nombre de variable aleatoria. \index{Variable! aleatoria}

Una distribución de probabilidad discreta, es una función que asocia cada caso posible de un fenómeno aleatorio con su probabilidad. Si vamos sumando sucesivamente las probabilidades de todos los fenómenos posibles, lo que obtenemos es una nueva función que recibe el nombre de probabilidad acumulada (Más adelante volveremos sobre esta idea). La figura \ref{fig:moneda} muestra la distribución de probabilidad y la probabilidad acumulada asociadas al lanzamiento de una moneda al aire.

Si todos los sucesos posibles dentro de un fenómeno aleatorio discreto tienen la misma probabilidad de suceder,  es posible determinar directamente la probabilidad de cada uno de ellos sin más que  dividir los casos favorables  entre los casos posibles,

\begin{equation*}
P(a)=\frac{\text{casos en que se da} \ a}{\text{numero total de casos posibles}}
\end{equation*}

Así por ejemplo la probabilidad de sacar un $6$ cuando se laza un dado será,

\begin{equation*}
P(a)=\frac{\text{casos en que se da}\ a=1}{\text{numero total de casos posibles}=6}=\frac{1}{6}
\end{equation*}
\switchcolumn
Tossing a coin, rolling a dice, drawing a card at random, or filling in a pool coupon are examples of random discrete phenomena. They are called \emph{discrete} because the outcomes of these activities are numerable, i.e., they can be counted. For instance, there are only to events associated to tossing a coin (head or tail), in the case of rolling a dice we have six events (any one of the dice faces), drawing a card has 40 events associated (well, it depends on the deck, 52 for a french playing card). The set of possible events of a random discrete phenomena are called random variable. \index[eng]{Variable! random}

A discrete probability distribution, us a functions which associates each possible event of a random phenomena with its probability. If we add on the probabilities of every possible event, we obtain a new function called the cumulated probability (More on this later). Figure \ref{fig:moneda} shows the probability distribution and the cumulated probability distribution associated with tossing a coin.

If all possible events belonging to a specific random discrete phenomenon have the same probability of occurring, the probability of any of them can be determined by dividing the number of favorable cases by the number of possible cases,
\begin{equation*}
	P(a)=\frac{\text{cases where} \ a \ \text{occurs}}{\text{total number of possible cases}}
\end{equation*}

So, for instance, the probability of getting a $6$ when rolling a dice would be,
\begin{equation*}
	P(a)=\frac{\text{cases where} \ a \ \text{occurs} = 1}{\text{total number of possible cases}=6}=\frac{1}{6}
\end{equation*}
\end{paracol}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{dado.eps}
\bicaption{Distribución de probabilidad y probabilidad acumulada de los resultados de lanzar un dado al aire.}{Probability distribution and cumulated probability of the resutls of rolling a dice.}
\label{fig:dado}
\end{figure}

\begin{paracol}{2}
Una propiedad que deben cumplir los sucesos aleatorios es que la suma de las probabilidades de todos los sucesos posibles debe ser igual a la unidad,
\switchcolumn
A property that all aleatory events should fulfill is that the sum of the probability of all possible events must equal one. 
\end{paracol}
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^n P(i) = 1
\end{equation*}


\begin{paracol}{2}
Es decir, \emph{necesariamente} debe darse alguno de los casos posibles.

Esto nos lleva al carácter aditivo o acumulativo de la probabilidad. Si elegimos un conjunto de casos posibles de un fenómeno aleatorio cualquiera, la probabilidad de que se de alguno de ellos será la suma de las probabilidades de los casos individuales. Por ejemplo la probabilidad al lanzar un dado de obtener un $2$, un $3$ ó un $6$ será,
\switchcolumn
That is, we have to get \emph{necessarily} one of the possible cases.

This brings us to an important aspect of probability: its additive or accumulative nature. If we select a set of potential events from any random phenomenon, the probability of any one of those events occurring is equal to the sum of the probabilities of each individual case. For example, the probability of rolling a $2$, a $3$, or a $6$ on a dice is,
\end{paracol}
\begin{equation*}
P(2,3,6) = P(2) + P(3) + P(6) = \frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6} = \frac{1}{2}
\end{equation*}
\begin{paracol}{2}
lo que coincide con lo que intuitivamente cabía esperar, que la probabilidad de sacar uno cualquiera de los tres números fuera $0.5$.
La figura \ref{fig:dado} muestra la distribución de probabilidad y la probabilidad acumulada para el lanzamiento de un dado. La probabilidad acumulada guarda relación con el carácter aditivo de la probabilidad que acabamos de describir. Si consideramos el conjunto de valores posibles en orden: $1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6$, la probabilidad acumulada para cada valor es la probabilidad de sacar un número al lanzar el dado menor o igual que dicho valor. Así por ejemplo la probabilidad de sacar un número menor o igual que tres sería,

\switchcolumn

This result coincides with what we may intuitively expect; the probability of getting any one of the three numbers would be $0.5$.
Figure \ref{fig:dado} shows the probability distribution and the cumulate probability for the dice-rolling example. The cumulated probability is related to the additive nature of probability we have already discussed. If we consider the set of possible outcomes in order: $1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6$, the cumulated probability for each value represents the likelihood of rolling a number less than or equal to this value. For instance, the probability of getting a number less than or equal to three will be,
\end{paracol}
\begin{equation*}
P(n\leqslant 3) = P(1) + P(2) + P(3) = \frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6} = \frac{1}{2}
\end{equation*} 
\begin{paracol}{2}
Hasta ahora, todas las distribuciones discretas de probabilidad que hemos visto ---moneda, dado--- asignan la misma probabilidad a todos los sucesos posibles. En general esto no tiene porqué ser así. Supongamos un dado trucado en el que la probabilidad de sacar un $6$ valga $0.5$, es decir en promedio tiende a salir un $6$ la mitad de las veces que se lanza el dado. Supongamos además que todos los demás números salen con la misma probabilidad,
\switchcolumn
All discrete probability distributions we have encountered  so far, ---such as coins and dice--, assign equal probability to their possible outcomes. In general, a probability distribution do not have to do so. Consider a biased die where the probability of rolling a 6 is 0.5. This means we will likely obtain a 6 half the times we roll the die. Moreover, suppose that the remaining numbers roll with equal probability.   
\end{paracol}

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=10cm]{dadot.eps}
	\bicaption{Distribución de probabilidad y probabilidad acumulada de los resultados de lanzar un dado trucado al aire.}{Probability distribution and cumulated probability of the results of rolling a biased dice.}
	\label{fig:dadot}
\end{figure}

\begin{align*}
P(1)& = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = \frac{1}{10}\\
P(6)& = \frac{1}{2}\\
\sum_i P(i)& = 1 
\end{align*}
\begin{paracol}{2}
La figura \ref{fig:dadot} muestra la distribución de probabilidad y la probabilidad asociada al lanzamiento del dato trucado del ejemplo.
\switchcolumn
Figure \ref{fig:dadot} shows the probability distribution associated the example of the biased dice rolling.
\end{paracol}

\begin{paracol}{2}
\subsection{Distribuciones de probabilidad continuas}\label{pdfc}
Hasta ahora, hemos considerado fenómenos en los que los casos posibles ---la variable aleatoria--- son finitos y numerables. Supongamos ahora un fenómeno aleatorio en que su variable aleatoria, $x$, es continua. Esto es: puede tomar todos los valores reales comprendidos en cierto intervalo, $x \in [a,b]$. Supongamos que todos los números contenidos en dicho intervalo pueden ser elegidos con igual probabilidad. Podríamos representar la distribución de probabilidad como una línea horizontal continua $f(x) = c$ que cubriera todo el intervalo $[a,b]$. Para obtener el valor constante $c$ de dicha distribución de probabilidad bastaría \emph{sumar} la probabilidad asociada por la distribución a cada valor del intervalo, igualar el resultado a uno y despejar $c$.

En realidad, no podemos sumar los infinitos valores que contiene el intervalo. De hecho lo que hacemos es sustituir la suma por una integral,
\switchcolumn
\subsection{Continuous probability distributions}
So far, we have considered phenomena in which the possible cases-- the random variable--- are finite and enumerable. Let us suppose now a random phenomenon for which the random variable, $x$, is continuous. It can take every real value in an interval $[a,b]$. Suppose every number in this interval can be chosen with equal probability. We could represent the probability as a continuous horizontal line $f(x) =c$ which would cover the whole interval $[a,b]$. To obtain the constant value $c$ for such probability distribution would be enough to sum up the probability assigned by the distribution to each value in the interval, equal the result to one, and find $c$.

We can not sum up the infinite values contained in the interval. In fact, we have to replace the sum with an integral.

Actually we can not sum up the infinite values contained in the interval. In fact, what we have to do is replace the sum for a in integral.
\end{paracol}
\begin{equation*}
\int_a^b c\cdot dx = 1 \Rightarrow c = \frac{1}{b-a}
\end{equation*}


\begin{paracol}{2}
La figura \ref{fig:puniform} muestra la distribución de probabilidad resultante

Es importante darse cuenta de la diferencia con el caso discreto. El intervalo $[a,b]$ contiene infinitos números. Si tratáramos de asignar un valor a la probabilidad de obtener un número dividiendo casos favorables entre casos posibles, como hacíamos en el caso discreto, obtendríamos un valor $0$ para todos los números. 

La distribución de probabilidad $f(x)\geqslant 0$ representa en el caso continuo una \emph{densidad} de probabilidad. Así, dado un número cualquiera $x_0 \in [a,b]$, el valor que toma la distribución de probabilidad $f(x_0)$ representa la probabilidad de obtener un número al azar en un intervalo $dx$ en torno a $x_0$,
\switchcolumn
Figure \ref{fig:puniform} shows the resulting probability distribution. 

It is impointronumpy.texrtant to realize that the difference when we compare with the discrete case. The interval $[a,b]$ contains infinite numbers. If we try to assign a value to the probability dividing the favorable cases by the possible cases, as we did in the discrete case,  we would obtain a value $0$ for every number.

The probability distribution  $f(x)\geqslant 0$ represents in the continuous case the a \emph{density} of probability. $f(x_0)$ represents the probability of obtaining a random number in an interval $dx$ around $x_0$,
\end{paracol}

\begin{equation*}
P\left(x_0-\frac{dx}{2}\leqslant x_0 \leqslant x_0+\frac{dx}{2}\right) = f(x_0)
\end{equation*} 
\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=10cm]{puniform.eps}
	\bicaption{Distribución de probabilidad uniforme para un intervalo $[a,b]$ y probabilidad acumulada correspondiente.}{Uniform probability distribution and cumulated probability.}
	\label{fig:puniform}
\end{figure}
\begin{paracol}{2}
La probabilidad, vendrá siempre asociada a un intervalo, y se obtendrá integrando la distribución de probabilidad en dicho intervalo. Así por ejemplo,
\switchcolumn
The probability will be always associated to an interval, and it will be obtained integrating the probability distribution on this interval. So, for instance, 
\end{paracol}

\begin{equation*}
P(x_1 \leqslant x \leqslant x_2) = \int_{x_1}^{x_2}f(x)dx
\end{equation*}

\begin{paracol}{2}
\noindent representa la probabilidad de obtener un número al azar en intervalo $[x_1,x_2]$. 
La probabilidad acumulada, se obtiene también mediante integración,
\switchcolumn
\noindent represents the probability of get a random number in the interval $[x_1,x_2]$. The cumulated probability can also be obtained by integration,
\end{paracol} 

\begin{equation*}
P(x) = \int_a^xf(x)dx
\end{equation*}

\begin{paracol}{2}
Para el caso de la distribución de probabilidad constante descrita más arriba obtendríamos una línea recta que corta el eje de abcisas en $a$ y el valor de ordenada $1$ en b,
\switchcolumn
For the constant probability distribution described above, we will obtain a straight line that cuts the abscissa axis on $a$ and takes the ordinate value $1$ on b.
\end{paracol} 
\begin{equation*}
P(x) = \int_a^xf(x)dx = \int_a^x \frac{1}{b-a}dx = \frac{x-a}{b-a}, \ x \in[a,b]
\end{equation*}
\begin{paracol}{2}
La figura \ref{fig:puniform} muestra la probabilidad acumulada para el ejemplo de la distribución uniforme. 

Si integramos la densidad de probabilidad sobre todo el intervalo de definición de la variable aleatoria, el resultado debe ser la unidad, puesto que dicha integral representa la probabilidad de obtener un número cualquiera entre todos los disponibles,
\switchcolumn
Figure \ref{fig:puniform} shows the cumulated probability for the case of an uniform distribution.

If we integrate the probability density over the whole definition interval of the random variable, the result should be one due to such integral represents the probability of getting whatever value among the available numbers, 
\end{paracol}
\begin{equation*}
\int_a^b f(x)dx =1, \ a\leqslant x \leqslant b
\end{equation*}
\begin{paracol}{2}
En probabilidad se emplean muchos tipos de distribuciones para representar el modo en que se dan los suceso aleatorios en la naturaleza. A continuación presentamos dos ejemplos muy conocidos:

\paragraph{Distribución exponencial} \index{Distribución exponencial}
La distribución exponencial está definida para sucesos que pueden tomar cualquier valor real positivo ó 0, $x \in [0,\infty)$. se representa mediante una función exponencial decreciente,
\switchcolumn
We use many different kind of distributions to represent how random events take place in nature. Let see now two very well known examples: 

\paragraph{Exponential distribution} \index[eng]{Exponential distribution}
Exponetial distribution are define for events that can take a real positive value or $0$, $x\in [0,\infty)$. It is represent by a decreasing exponetial function,
\end{paracol}
\begin{equation*}
f(x)=\frac{1}{\mu}e^{-\frac{x}{\mu}}
\end{equation*}

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{distexp.eps}
\bicaption{Distribución de probabilidad exponencial}{Exponential probability distribution}
\label{fig:distexp}
\end{figure}

\begin{paracol}{2}
La figura \ref{fig:distexp} muestra un ejemplo de distribución exponencial. Es interesante observar como su probabilidad acumulada tiende a $1$ a medida que $x$ tiende a $\infty$.
\switchcolumn
Figure \ref{fig:distexp} shows an example of an exponential distribution. It is interesting to notice how its cumulative probability tends to $1$ as $x$ tends to $\infty$.
\end{paracol}

\begin{equation*}
P(0\leqslant x < \infty) = \int_0^{\infty}\frac{1}{\mu}e^{-\frac{x}{\mu}}dx = 1
\end{equation*}

\begin{paracol}{2}
\paragraph{Distribución Normal}\index{Distribución normal} Aparece con gran frecuencia en la naturaleza. En particular, como veremos más adelante, está relacionada con la incertidumbre inevitable en la medidas experimentales. Esta definida para sucesos aleatorios que pueden tomar cualquier valor real, $-\infty < x < \infty$. Se representa mediante la función de Gauss,
\switchcolumn
\paragraph{Normal distribution}\index[eng]{Normal distribution} It is very frequent to find this distribution in nature. It is related, as we shall see later, with the  uncertainty always present in experimental measurements. It is defined for random events that can take any real value, $-\infty < x < \infty$. It is represented by Gauss' function.
\end{paracol}

\begin{equation*}
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
\end{equation*}
\begin{paracol}{2}
\noindent La figura \ref{fig:normal} muestra un ejemplo de distribución normal.
\switchcolumn
\noindent Figure \ref{fig:normal} shows an example of normal distribution.
\end{paracol}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{normal.eps}
\bicaption{Distribución de probabilidad normal}{Normal probability distribution}
\label{fig:normal}
\end{figure}
\begin{paracol}{2}
\paragraph{Parámetros característicos de una distribución}

Los parámetros característicos permiten definir propiedades importantes de las distribuciones de probabilidad. Nos limitaremos a definir los dos más importantes:
\begin{itemize}\index{Media de una distribución}
\item \textbf{Media ó valor esperado.} El valor esperado de una distribución se obtiene integrando el producto de cada uno de los valores aleatorios sobre los que está definida la distribución, por su densidad de probabilidad,
\end{itemize}
\switchcolumn
\paragraph{Characteristic parameters of Distributions}
The characteristic parameter  allow us to define important properties of probability distributions. We will define only the two main distributions parameters:
\begin{itemize}\index[eng]{Mean (Distributions)}
	\item \textbf{Distribution mean or expected value} We get the expected value of a distribution integrating the product of the ramdom variable the distribution is defined on, by its probability density,   
\end{itemize}
\end{paracol}
\begin{equation*}
\mu = \int_a^b xf(x)dx, \ a\leqslant x \leqslant b
\end{equation*}
\begin{paracol}{2}
Así, para una distribución uniforme definida en un intervalo $[a,b]$,
\switchcolumn
So, for an uniform distribution defined in the interval $[a,b]$
\end{paracol}
\begin{equation*}
\mu = \int_a^b x\frac{1}{b-a}dx = \frac{a+b}{2}
\end{equation*}
\begin{paracol}{2}
para una distribución exponencial,
\switchcolumn
for an exponential distribution
\end{paracol}
\begin{equation*}
\mu = \int_0^{\infty}x\frac{1}{\mu}e^{-\frac{x}{\mu}}dx = \mu
\end{equation*}
\begin{paracol}{2}
y para la distribución normal,
\switchcolumn
and for a normal distribution,
\end{paracol}

\begin{equation*}
\mu = \int_{-\infty}^{\infty}x \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}= \mu
\end{equation*}
\begin{paracol}{2}
Es interesante observar como en el caso de las distribuciones exponencial y normal la media es un parámetro que forma parte de la definición de la función de distribución.
\begin{itemize}
\item \textbf{Varianza}\index{Varianza de una distribución} La varianza da una medida de la dispersión de los valores de 
la distribución en torno a la media. Se define como,
\end{itemize}
\switchcolumn
It is interesting to notice how for the cases of the exponential and normal distribution the mean is a parameter that is included in the definitions of the distribution function,
\begin{itemize}
	\item \textbf{Variance} \index[eng]{Variance (Distribution)} The variance supplies an measurement of the distribution values dispersion around the mean. It is defined as,
\end{itemize}
\end{paracol}


\begin{equation*}
\sigma^2 = \int_a^b (x-\mu)^2f(x)dx, \ a\leqslant x \leqslant b
\end{equation*}
\begin{paracol}{2}
Para una distribución uniforme definida en el intervalo $[a,b]$, tomará el valor,
\switchcolumn
For an uniforme distribution defined in the interval $[a,b]$ it will take the value,
\end{paracol}
\begin{equation*}
\sigma^2 = \int_a^b (x-\mu)^2\frac{1}{b-a}dx = \frac{(b-a)^2}{12}
\end{equation*}
\begin{paracol}{2}
para una distribución exponencial,
\switchcolumn
for an exponential distribution,
\end{paracol}
\begin{equation*}
\sigma^2 = \int_0^{\infty}(x-\mu)^2\frac{1}{\mu}e^{-\frac{x}{\mu}}dx = \mu^2
\end{equation*}
\begin{paracol}{2}
y para la distribución normal,
\switchcolumn
and for a normal distribution,
\end{paracol}
\begin{equation*}
\sigma^2 = \int_{-\infty}^{\infty}x \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}= \sigma^2
\end{equation*}
\begin{paracol}{2}
\begin{itemize}
\item \textbf{Desviación estándar.} \index{Desviación estándar de una distribución} Es la raíz cuadrada de la varianza: $\sigma =\sqrt{\sigma^2}$  
\end{itemize}
\switchcolumn
\begin{itemize}
\item \textbf{Standard deviation} \index[eng]{Standard deviation (distribution)} It is the variance square root : $\sigma =\sqrt{\sigma^2}$
\end{itemize}  
\end{paracol}

\begin{paracol}{2}
\section{El teorema del límite central}\label{tlc}\index{Teorema del ĺimite central}
\sectionmark{El teorema del límite central. \textreferencemark\ Central Limit Theorem.}
El teorema del límite central juega un papel muy importante a la hora de analizar y evaluar resultados experimentales. Nos limitaremos a enunciarlo, pero no daremos una demostración.

Supongamos que tenemos un fenómeno aleatorio continuo que viene caracterizado por una variable aleatoria $x$. Además el fenómeno aleatorio viene descrito por una distribución de probabilidad arbitraria $f(x)$ de media $\mu$ y varianza $\sigma^2$.

Supongamos que realizamos un experimento consistente en obtener $n$ valores de x al azar. Los valores así obtenidos, deberán seguir la distribución de probabilidad $f(x)$. Para caracterizar nuestro experimento, calcularemos la media de los $n$ valores obtenidos,
\switchcolumn
\section{The Central Limit Theorem} \index[eng]{Central Limit Theorem}
\sectionmark{El teorema del límite central. \textreferencemark\ Central Limit Theorem.}
The central limit theorem plays a very important role in experimental data analysis. We are going to present it without demonstration.

Suppose we have a continuous random phenomenon with is defined by a random variable $x$. Besides, the phenomenon is described by an arbitrary probability distribution $f(x)$, with mean $\mu$ and variance $\sigma^2$.

Suppose we carry out an experiment and obtain $n$ random samples of $x$. The values so obtained should follow the probability distribution $f(x)$. Tu characterize our experiment we will calculate the mean of the $n$ samples.    

\end{paracol}

\begin{equation*}
\bar{x}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i
\end{equation*}
\begin{paracol}{2}
Si repetimos el experimento muchas veces, obtendremos al final una colección de medias; tantas, como veces hemos repetido el experimento,
$\left\{\bar{x}_{n1}, \bar{x}_{n2} \cdots \bar{x}_{nj} \cdots \right\}$. El teorema del límite central, establece que las medias así obtenidas constituyen a su vez valores de una variable aleatoria que sigue una distribución normal, cuya media coincide con la media $\mu$ de la distribución original $f(x)$ y cuya varianza coincide con el valor de la varianza de la distribución original $\sigma^2$ dividida por el número $n$ de valores de $x$ obtenidos al azar en cada uno de los experimentos. (En todos los experimentos se obtiene siempre el mismo número de valores de la variable aleatoria $x$).
\switchcolumn
If we repeat the experiment many times, we eventually, will obtain a collection of mean values; so many as times we have repeated the experiment, $\left\{\bar{x}_{n1}, \bar{x}_{n2} \cdots \bar{x}_{nj} \cdots \right\}$. The central limit theorem establishes that the set of means so obtained are in turn values of a random variable that follows a normal distribution. The mean of such normal distributions meets the mean $\mu$  of the original distribution $f(x)$ and the its variance is equal to the variance $\sigma^2$ of the original distribution divided by the number $n$ of values of $x$ randomly generated in each one of the experiments. (You should obtain the same number of samples of the random variable $x$ in every experiment). 
\end{paracol}

\begin{equation*}
x, \ f(x), \mu, \sigma^2 \Rightarrow \bar{x}_n,\ f(\bar{x}_n)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2/n}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2/n}}  
\end{equation*}

\begin{paracol}{2}
Veamos un ejemplo para ilustrar el teorema. Hemos visto en la sección \ref{rand} que podemos construir un generador que genera números aleatorio uniformemente distribuidos en el intervalo $[0,1)$. Podemos considerar que el ordenador genera número aleatorios que siguen aproximadamente una distribución continua en dicho intervalo. Podemos alterar dicho intervalo multiplicando por un número cualquiera el resultado de \texttt{gen\_num.random}. Así, por ejemplo,
\switchcolumn
Let see an example to show the theorem's result. We have seen in section \ref{rand} that we can build generator to obtain random numbers uniformly distributed in the interval $[0,1)$. We can consider the computer to generate number with approximately follows a continuous distribution in this interval. We can expand the interval multiplying by any number the result of \texttt{gen\_num.random} . So, for instance, 
\end{paracol}
\begin{center}
	\begin{minipage}{\textwidth}
		\begin{minted}{python}
			In [53]: l = 5*gen_num.random(100)
		\end{minted}
	\end{minipage}
\end{center}

\begin{paracol}{2}
genera un array de 100 números aleatorios en el intervalo $(0,5)$.
Además podemos desplazar el centro del intervalo sumando o restando al resultado anterior un segundo número. Así,
\switchcolumn
generates a 100 random number array in the interval $(0,5)$.
Moreover, we can shift the center of the interval adding or subtracting a secon number. So, 
\end{paracol}


\begin{center}
	\begin{minipage}{\textwidth}
		\begin{minted}{python}
			In [53]: l = 5*gen_num.random(100)-2
		\end{minted}
	\end{minipage}
\end{center}

\begin{paracol}{2}
genera un vector de 100 números aleatorios en el intervalo $(-2,3)$.

Para comprobar el teorema del límite central, podemos construir un bucle que genere un vector de $n$ números aleatorios en un determinado intervalo, calcule su media y guarde el resultado en un vector de medias. El siguiente código de Python, realiza dicho cálculo primero generando un vector de $10$ números aleatorios ($n = 10$) y después generando un vector de $100$, ($n=100$).  El programa genera en cada caso un millón de vectores distintos.
\switchcolumn
generates a 100 random numbers array in the interval $(-2,3)$.

We can now check the central limit theorem, building a loop that generates a vector of $n$ random number in an specific interval, calculates their mean value and saves the result in a vector of 'means'. The following python code, makes this calculation generating firs a vector of $10$ random numbers ($n=10$) and then generating a vector of $100$ random numbers, ($n=100$). IN both cases, the program generates one million of different vectors.
\end{paracol}
\inputminted[
frame=lines,
framesep=2mm,
baselinestretch=1.2,
%bgcolor=LightGray,
label=central\_limit,
fontsize=\footnotesize,
linenos
]{python}{./codigos/tratamiento_datos/central_limit.py}

\begin{paracol}{2}
De acuerdo con el teorema del límite central, los dos vectores de medias obtenidos,\\ \texttt{media10} y \texttt{media100}, deben seguir distribuciones normales tales que,
\begin{enumerate}
\item La media de la distribución normal debe coincidir con la media de la distribución a la que pertenecían los datos originales. Como hemos tomado datos distribuidos uniformemente en el intervalo $[-1,1]$, la media de dicha distribución es,
\end{enumerate}
\switchcolumn
According with the central limit theorem, both means vectors obtained by this procedure,  \texttt{media10} y \texttt{media100}, should follow normal distributions such that, 
\begin{enumerate}
	\item The mean of the normal distribution sho\-uld meet the mean of the original distribution the data belong to. as we have taken data uniformly distributed in the interval $[-1,1]$, The mean value of this distribution is,
\end{enumerate}

\end{paracol}
\begin{equation*}
\mu = \frac{(b+a)}{2}=\frac{1+(-1)}{2}=0
\end{equation*}
\begin{paracol}{2}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item La varianza de las distribuciones normales a las que pertenecen las medias obtenidas será en cada caso el resultado de dividir la varianza de la distribución uniforme original entre el número de datos empleados para calcular dichas medias,
\end{enumerate}
\switchcolumn
\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{1}
	\item The variance of the normal distributions the means obtained belongs to, will be in each case the result of dividing the variance of the original uniform distribution by the number of data used to calculate the means, 
\end{enumerate}
\end{paracol}

\begin{align*}
\sigma_{10}^2 = \frac{\sigma^2}{10}=\frac{\frac{(b-a)^2}{12}}{10}=\frac{\frac{(1-(-1))^2}{12}}{10}=\frac{1}{30}\\
\sigma_{100}^2 = \frac{\sigma^2}{100}=\frac{\frac{(b-a)^2}{12}}{100}\frac{\frac{(1-(-1))^2}{12}}{10}=\frac{1}{300}
\end{align*}

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{tlc.eps}
\bicaption{Teorema del límite central: Comparación entre histogramas normalizados para un millón de medias y la distribución normal a que pertenecen. Izquierda medias de 10 muestras. Derecha medias de 100 muestras}{Central Limit Theorem: Comparison between the normalised histograms for a million of means and the normal distribution they belong to. Left, mean of 10 random samples. Right, means of 100 random samples }\label{fig:ctrli}
\end{figure}

\begin{paracol}{2}
Por tanto, las distribuciones normales a las que pertenecen las medias calculadas son,
\switchcolumn
Thus, the normal distributions the means calculated belong to are,
\end{paracol}
\begin{equation*}
f(\bar{x}_{10})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\frac{1}{30}}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\frac{1}{30}}},\  f(\bar{x}_{100})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\frac{1}{300}}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\frac{1}{300}}}
\end{equation*}
\begin{paracol}{2}
La figura \ref{fig:ctrli}, muestra un histograma normalizado de las medias obtenidas con el código que acabamos de describir \footnote{El histograma normalizado se obtiene dividiendo el número de puntos que pertenecen a cada barra del histograma entre el número total de puntos y el ancho de la barra. De esta manera, si sumamos los valores representados en cada barra multiplicados por su ancho, el resultado es la unidad. Solo normalizando el histograma es posible compararlo con la distribución a que pertenecen los datos, que cumple por definición tener área unidad.}. Sobre dicho histograma se ha trazado mediante una línea roja, la función de Gauss que representa en cada caso la distribución normal a que pertenecen las medias. Como puede observarse en ambos casos el histograma normalizado y la distribución coinciden bastante bien.

De las figuras, es fácil deducir que cuantos más datos empleemos en el cálculo de las medias, más centrados son los resultados obtenidos en torno a la media de la distribución original. Por otro lado, esto es una consecuencia lógica del hecho de que la varianza de la distribución normal que siguen las medias, se obtenga dividiendo la varianza de la distribución original, por el número de datos $n$; cuantos mayor es $n$ más pequeña resulta la varianza de la distribución normal resultante.
\switchcolumn
Figure \ref{fig:ctrli} shows a normalized histogram of the means obtained with the code described above\footnote{We can obtain a normalized histogram dividing the number of values belonging to a bar by the width of the bar and the total number of value that compose the histogram. IN this way if we sum up the values represented in each bar multiplied by the bar width the result is one. Only if we normalize the histogram can we compare it with the distribution the data belong two which, by definition should have unit area.}. On top of the histogram we have represented, using a orange line, The Gauss function which represent in each case the normal distribution the means belong to. As can be seen, the normalize histograms and the normal distributions feet well.

From the figures it is easy to observe that as many data are uses to calculate the means, more center are the results around the mean of the original distribution. On the other hand, this is a logical consequence of the fact that the variance of the normal distribution the means follow, are obtained dividing the variance of the original distribution by the number of data $n$; as larger is $n$ smaller is the variance of the resulting normal distribution.  
\end{paracol}
 
\begin{paracol}{2}
\section{Incertidumbre en las medidas experimentales}\index{Incertidumbre}
\sectionmark{Incertidumbre. \textreferencemark\ Uncertainty.}
Siempre que realizamos una medida de una cantidad física dicha medida  estará afectada por un cierto error. Dado que no conocemos cual es el valor verdadero que toma la magnitud que estamos midiendo, no podemos tampoco conocer el error que cometemos al medirla. Decimos entonces que toda medida está afectada por un cierto grado de incertidumbre.

Lo que sí es posible hacer, es acotar el grado de incertidumbre de una medida, es decir estimar unos límites con respecto a la medida realizada dentro de los cuales debe estar contenido el verdadero valor que toma la magnitud medida.

Cualquier medida experimental debe incluir junto al resultado de la medida el valor de su incertidumbre y, por supuesto, las unidades empleadas en la medida. La figura \ref{fig:incertidumbre} muestra un modo correcto de expresar una medida experimental, aunque no es el único. Como puede observarse, la medida y su incertidumbre se separan en la representación mediante el símbolo $\pm$.  La incertidumbre se representa como  un entorno alrededor del valor medido, dentro del cual estaría incluido el valor real de la medida\footnote{Como se verá más adelante se debe indicar también el \emph{grado de confianza} con el que esperamos que la medida caiga dentro del intervalo indicado por la incertidumbre}.
\switchcolumn
\section{Experimental measurement uncertainty}\index[eng]{Uncertainty}
\sectionmark{Incertidumbre. \textreferencemark\ Uncertainty.}
Whenever we measure a physical magnitude, such measurement is affected by some error. As we do not know the actual value taken by the magnitude we are measuring, we cannot know the error we make when we take the measure. We say then, that every measurement is affected by some degree of uncertainty.

But we can, a least, calculate bounds on the degree of measurement uncertainty. This means we can estimate limits around the measurement that contain the actual value of the measured quantity.

Any experimental measurement should include, besides the measure's result, the value of its uncertainty and, of course, the units used in the measurement. Figure \ref{fig:incertidumbre} shows the right way of expressing an experimental measurement, although it is not the only one. As seen, the measurement and its uncertainty are separated in the representation by the symbol $\pm$. So, the uncertainty is represented as a contour around the value of the measurement; inside this contour, the actual value of the measured magnitude should be. \footnote{As we shall later, we should also indicate the \emph{degree of confidence} when we expect the actual value to fall inside the interval indicated by the uncertainty.}
\end{paracol}

\begin{figure}
\centering
\begin{tikzpicture}
%\usetikzlibrary{shapes.geometric}
\path (3,0) node(a) [rectangle,draw=blue, thick,rounded corners,align=center,font=\large]{Medida/Measurement: $125.2$}
(7,-3) node(b)[rectangle,draw=red, thick,rounded corners,align=center,font=\large]{Incertidumbre/Uncertainty: $0.5$}
(9,0) node(c)[rectangle,draw=green, thick,rounded corners,align=center, font=\large]{Unidades/Units: kg}
(6,-1.5) node(d)[font= \huge]{$125.2 \pm 0.5 \text{kg}$};
\draw[blue,-latex](a.south)--(4.5,-1.1);
\draw[red,-latex](b.north)--(7,-1.8);
\draw[green,-latex](c.south)--(8.0,-1.2);
\end{tikzpicture}
\bicaption{Modo correcto de expresar una medida experimental.}{A right way to display an experimental measurement.}
\label{fig:incertidumbre}
\end{figure} 

\begin{paracol}{2}
\subsection{Fuentes de incertidumbre.}\label{fdi}

Antes de entrar en el estudio de las fuentes de incertidumbre, es importante destacar que el estudio de la medición constituye por sí mismo una ciencia, conocida con el nombre de metrología. Lo que vamos a describir a continuación tanto referido a las fuentes de incertidumbre como al modo de estimarla, es incompleto y representa tan solo una primera aproximación al problema.
La incertidumbre de una medida tiene fundamentalmente dos causas:

\paragraph{Incertidumbre sistemática de precisión.}\index{Medidas experimentales! precisión}
 La primera es la precisión limitada de los aparatos de medida. Cualquier aparato de medida tiene una precisión que viene determinada por la unidad o fracción de unidad más pequeña que es capaz de resolver. Por ejemplo, una regla normal, es capaz de resolver (distinguir) dos longitudes que se diferencien en $0.5 mm$, un reloj digital sencillo es capaz de resolver tiempos con una diferencia de $1s.$ etc.
 
La incertidumbre debida a la precisión finita de los aparatos de medida recibe el nombre de \emph{Incertidumbre sistemática de precisión.} 
Se llama así porque depende exclusivamente de las características del aparato de medida que, en principio, son siempre las mismas.

La incertidumbre sistemática de precisión suele expresarse añadiendo a la medida la mitad de la división mínima de la escala del aparato de medida empleado. Así, por ejemplo, si medimos $123 mm$ con una regla graduada en milímetros, podríamos expresar la  medida como $123 \pm 0.5 mm$ o también como $12,3\pm0.05cm$.


La incertidumbre sistemática de precisión representa una distribución uniforme de media el valor de la medida realizada y anchura la división mínima de la escala. Es decir, se considera que el valor real de la medida está dentro de dicho intervalo intervalo con una probabilidad del $100\%$. Volviendo al ejemplo anterior de la regla, el valor real de nuestra medida estaría comprendido en el intervalo $[122.5,\ 123.5 ]$, y podría tomar cualquier valor de dicho intervalo con igual probabilidad. 

\paragraph{Incertidumbre estadística.}\index{Medidas experimentales! Incertidumbre estadística} La segunda fuente de incertidumbre se debe a factores ambientales, que modifican de una vez para otra las condiciones en que se realiza una medida experimental. Estos factores hacen que la medidas realizadas sean sucesos aleatorios. En principio podría describirse mediante una distribución de probabilidad $f(x)$, pero en la práctica desconocemos de qué distribución se trata y ni siquiera sabemos cual es su valor esperado $\mu$ o su varianza $\sigma$. \index{Medidas experimentales! Incertidumbre estadística}

Afortunadamente, el teorema del límite central, que describimos en al sección \ref{tlc} proporciona un sistema de estimar la incertidumbre estadística.

Supongamos que repetimos $n$ veces la misma medida experimental. Por ejemplo: tenemos un recipiente con agua, lo calentamos y tomamos la temperatura del agua cuando ésta rompe a hervir. Obtenemos un conjunto\\ $\{x_1,x_2,\cdots x_n \}$ de medidas de la temperatura de ebullición del agua. Cabe esperar que, debido a la incertidumbre estadística, los valores obtenidos sean distintos  y, a la vez próximos entre sí\footnote{De hecho, si aparecen algunos valores claramente alejados del resto, lo habitual es considerar que están afectados por algún error desconocido y desecharlos. Dichos valores suelen recibir el nombre de valores o datos aberrantes.}.

Sabemos que dichos valores deben seguir una cierta distribución de probabilidad. Podría\-mos estimar su valor esperado $\mu$ mediante el cálculo de la media aritmética de las medidas tomadas.
\switchcolumn
\subsection{Sources of Uncertainty}\label{fdii}
Before beginning to study the sources of uncertainty, it is important to notice that the study of the 'measure' is science, known as metrology. What we are to present in the following paragraphs, in reference to the sources of uncertainty and the means to estimate this last, is incomplete and only represents a first approach to the problem. The uncertainty of a measurement has mainly two causes:

\paragraph{Systematic accuracy uncertainty.}\index[eng]{Experimental measurements! accuracy}
The\\ first one is the limited accuracy of the sensors. Any sensor's accuracy is determined by the least unit or fraction of the units the device is able to resolve. For instance, a standard rule can resolve (distinguish) two lengths that are different only by $0.5mm$. A simple digital watch can display times with a resolution of one second, etc.

The uncertainty due to the finite accuracy of the sensors is known as \emph{Systematic accuracy uncertainty}. It is named so because it depends only on the features of the sensor device, which are always the same, at least in principle. 

Systematic accuracy uncertainty is usually shown by adding half the least division of the Sensor device measurement scale to the measurement. So, for instance, if we are taking a measurement of $123 mm$ with a rule graduated in millimeters, we can present the measurement as  $123 \pm 0.5 mm$ or $12,3\pm0.05cm$.

The systematic accuracy uncertainty represents an uniform probability density distribution. The mean is the value measured and the width is the minimum division of the sensor measurement scale. This means, that we consider that the real value of the magnitude is inside this interval (defined by the minimum division value) with a probability of $100\%$. Coming back to the example of the rule, The real value of our measurement will be inside the interval $[122.5,\ 123.5 ]$ and it could take whatever value, inside this interval, with the same probability. 

\paragraph{Statistical uncertainty}\index[eng]{Experimental measurements! Statistical Uncertainty}
The second source of uncertainty arises from environmental factors that constantly change the conditions under which a measurement is taken. These factors render the measurement subject to random variations. While we could theoretically describe this variation using a probability distribution $f(x)$, in practice, the specific distribution is unknown. Consequently, we do not know its mean value $\mu$ or its variance $\sigma$.

But, fortunately, the central limit theorem, that we described in section \ref{tlc}, supplies a method to estimate the statical uncertainty.

Let's suppose we repeat the same experimental measurement $n$ times. For example, we have a bowl of water; we heat it and measure the water temperature when it begins to boil. We obtain a set $\{x_1,x_2,\cdots x_n\}$ of boiling water temperature measurements. Due to statistical uncertainty, it is likely that,  the values we obtain will differ from one to another but they will be close together\footnote{In fact, when we obtain data points that are significantly different from the rest, we often consider them to be influenced by some unknown error and will discard them. Such data are known as outlayers}.

We know that this data should follow some probability distribution. We can estimate the expected value, $\mu$, by calculating the arithmetic mean of the collected data.
\end{paracol}

\begin{equation*}
\mu \approx \bar{x}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i
\end{equation*}

\begin{paracol}{2}
La media así calculada se toma como el valor resultante de la medida realizada.

De acuerdo con el teorema del límite central, $\bar{x}_n$ es una variable aleatoria que debe seguir una distribución normal de media $\mu$ y de varianza $\sigma^2/n$. Como tampoco conocemos el valor de la varianza $\sigma^2$ de la distribución de probabilidad que siguen los datos medidos, la estimamos a partir de los propios datos medidos, de acuerdo con la siguiente ecuación,
\switchcolumn
We take the mean so calculated as the resulting value of the performed measure.

According to the central limit theorem, the sample mean $\bar{x}_n$ is a random variable that follows a normal distribution with a mean of $\mu$ and a variance of $\sigma^2/n$. Since we do not know the variance $\sigma^2$ of the underlying probability distribution from which the measured data is drawn, we estimate it using the measured data itself, following this equation,
\end{paracol}

\begin{equation*}
\sigma^2 \approx s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2
\end{equation*}

\begin{paracol}{2}
Dividiendo $s^2$ por el número de muestras empleado se puede aproximar la varianza de la distribución normal que debe seguir $\bar{x}_n$,
\switchcolumn
Dividing $s^2$ by the number of samples, we can approximate the variance of the normal distribution  that $\bar{x}_n$ follows, 
\end{paracol}
\begin{equation*}
\sigma^2_{xn} \approx s^2_{xn} = \frac{s^2}{n}
\end{equation*}

\begin{paracol}{2}
La incertidumbre, se puede asociar con la raíz cuadrada la varianza que acabamos de estimar,
\switchcolumn
We can associate the uncertainty with the square root of the variance just estimated.,
\end{paracol}
\begin{equation*}
s_{xn}=\sqrt{s^2_{xn}}=\sqrt{\frac{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}{n}}
\end{equation*}

\begin{paracol}{2}
esta cantidad recibe el nombre de desviación estándar.

\subsection{Intervalos de confianza.}\index{Intervalos e confianza}
Como hemos visto, a partir del teorema central del límite podemos asociar la media de los valores obtenidos al repetir una medida y su desviación estándar con una distribución normal. Podemos ahora, en un segundo paso, asociar la incertidumbre de la medida realizada con la probabilidad representada por dicha distribución normal.

Si el valor obtenido tras realizar $n$ repeticiones de una medida es $\bar{x}_n$ y su desviación típica es $s_{xn}$ ¿Cuál es la probabilidad de que el valor medido esté realmente comprendido en el intervalo $[\bar{x}_n-s_{xn}, \bar{x}_n+s_{xn}]$? 

Como vimos en el apartado \ref{pdfc}, dicha probabilidad puede calcularse integrando la distribución normal obtenida entre $\bar{x}_n-s_{xn}$ y $\bar{x}_n+s_{xn}$,
\switchcolumn
this quantity is known as the standard deviation.

\subsection{Confidence intervals.}\index[eng]{Confidence Intervals}
As we have seen, using the central limit theorem, it is possible to relate the mean of the values obtained by repeating a measure and their standard deviation to a normal distribution. In the second step, we can associate the uncertainty of the performed measure with the probability represented by this normal distribution.

If the mean value after carrying out $n$ repetitions of measurement is $\bar{x}_n$ and the standard deviation is $s_{xn}$ What is the probability that the measured value will be actually inside the interval $[\bar{x}_n-s_{xn}, \bar{x}_n+s_{xn}]$? 

As we see in section \ref{pdfc}, such probability can be calculated by integrating the normal distribution obtained between the limits $\bar{x}_n-s_{xn}$ y $\bar{x}_n+s_{xn}$,
\end{paracol}

\begin{equation*}
P(\bar{x}_n - s_{xn} \leqslant x \leqslant \bar{x}_n
+ s_{xn}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2_{xn}}}\int_{\bar{x}_n-s_{xn}}^{\bar{x}_n+s_{xn}}e^{\frac{-(x-\bar{x}_n)^2}{2s_{xn}^2}}
\end{equation*}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{interconf1.eps}
\caption{Intervalo de confianza del $68.27\%$ }
\label{fig:ic1}
\end{figure}

\begin{paracol}{2}
El valor de dicha integral es $0.6827$. Si expresamos este valor como un tanto por ciento, concluimos que la probabilidad de que el valor medido este en el intervalo $[\bar{x}_n-s_{xn}, \bar{x}_n+s_{xn}]$ es del $68.27\%$. Dicho de otra manera: el intervalo $[\bar{x}_n-s_{xn}, \bar{x}_n+s_{xn}]$ corresponde con el \emph{intervalo de confianza} del 68.27\%. La figura \ref{fig:ic1} muestra el área bajo la distribución normal, correspondiente a dicha probabilidad.

Volviendo al problema de la medida, la manera correcta de expresarla sería en nuestro caso:  $\bar{x}\pm s_{xn}$ (unidades). Indicando que la incertidumbre corresponde con el intervalo de confianza del $68.27\%$.


Observando la figura \ref{fig:ic1}, es fácil plantearse la siguiente cuestión: ¿Qué valor de la incertidumbre contendría el valor de real de la medida con una probabilidad de, por ejemplo, el 95\%? O, dicho de otra manera, ¿Cuánto tengo yo que \emph{alargar} el intervalo de integración para que el área contenida bajo la distribución normal valga $0.95$?

Para estimarlo se emplea la inversa de la función de probabilidad acumulada. Como se explicó en el apartado \ref{pdfc}, la función de probabilidad acumulada se obtiene por integración de la distribución de probabilidad correspondiente. 

Dicha función representa la probabilidad de obtener un resultado entre el límite inferior para el que está definida la distribución de probabilidad y el valor $x$ para el que se calcula la función. La inversa de la función de probabilidad acumulada nos indica, dado un valor de la probabilidad comprendido entre $0$ y $1$, a qué valor $x$ corresponde dicha probabilidad acumulada. 

Dado que la distribución normal no tiene primitiva, solo puede integrarse numéricamente. Por tanto, su inversa, solo puede obtenerse también numéricamente. 

Hay varias posibilidades en Python para obtener tanto los valores de la distribución normal acumulada como los de su inversa. Todos ellos forman parte de módulos especializados en realizar cálculos estadísticos. En esta notas nos vamos a centrar en el uso del módulo Scipy y, en particular, su submódulo stats. Se trata de un módulo especializado en cálculo estadistico, que implementa un buen número de funciones de distribución. 

En nuestro caso particular, nos centraremos en la distribución normal. Podemos emplearla de muchas maneras, la más sencilla es importarla directamente desde su módulo, \mintinline{python}|from scipy.stats import norm|.

\mintinline{python}|norm| suministra todas las funciones necesarias para trabajar con distribuciones normales. Por defecto, la distribución normal con la que trabaja es la estádar, es decir una distribucion de media $0$ y desviación estandar $1$. Si queremos cambiar los valores de media y desviaciación estándar, podemos hacerlo empleando los parámetros \mintinline{python}|loc| (media) y \mintinline{python}|scale| (desviación estándar). Entre las funciones sumnistradas, nos vamos a centrar de momento en las tres principales, 
\begin{itemize}
	\item \mintinline{python}|norm.pdf(x,loc=0,scale=1)|, suministra valores de la distribucion normal.
	\item \mintinline{python}|norm.cdf(x,loc=0,scale=1)|, suministra valores de la distribución normal acumulada
	\item \mintinline{python}|norm.ppf(p,loc=0,scale=1)|, $0\leq q \leq 1$, suministra la inversa de la distribución normal acumulada
\end{itemize}
veamos algunos ejemplos del uso de estas funciones,

\switchcolumn
The value taken by this integral is $0.6827$. If we represent this value using a percentage, We can conclude that the probability of the mean value falling within the interval $[\bar{x}_n-s_{xn}, \bar{x}_n+s_{xn}]$ is a $68.27\%$. In other words, the interval $[\bar{x}_n-s_{xn}, \bar{x}_n+s_{xn}]$ represents a confidence interval  of 68.27\%. Figure \ref{fig:ic1} shows the area beneath the normal distribution corresponding to this probability.

Coming back to the measurement problem, the appropriate way to represent it in our example would be: $\bar{x}\pm s_{xn}$ (units). Indicating that the uncertainty corresponds to a confidence interval of $68.27\%$.

When examining figure \ref{fig:ic1}, one might wonder: What uncertainty value will encompass the true measurement value with a 95\% probability? In other words, how much do we need to \emph{stretch} the integration interval to achieve an area of 0.95 beneath the normal distribution?

We can estimate this interval by using the inverse of the cumulated probability distribution, as we explained in section \ref{pdfc}. We obtain the cumulated probability distribution by integrating the corresponding probability density distribution.     

The cumulative probability function provides the probability of obtaining a result that falls between the lower limit of the probability distribution and a specific value, $x$, for which we are calculating the function's result. The inverse of the cumulative probability function determines which value $x$ corresponds to a given cumulative probability, where that probability is a value between $0$ and $1$.

The normal function has not primitive and it can only be integrated numerically. Thus, its inverse, can only be obtain also by numerical methods.

There are several means in Python to calculate the values of the normal cumulative distribution and the values of its inverse function. All this methods belong to Python modules devoted to make statistical calculations. In this notes we are going to focus on Scipy module and, specifically in Scipy's submodule stats; a submodule specifically designed to perform statistical computing, which implement a large number of distributions functions.

In our case, we are going to focus on the normal distribution. we can use it in many different ways but perhaps the simplest is just to import in from its module,\\ \mintinline{python}|from scipy.stats import norm|.

\mintinline{python}|norm| supplies all necessary functions to work with normal distributions. It works by default with an standard normal distribution, i.e. a normal distribution of mean $0$ and standard deviation $1$. If we want to change the values of mean and standard deviation, we can do it using the parameters \mintinline{python}|loc| (mean) y \mintinline{python}|scale| (standard deviation). Between the function supplied by \mintinline{python}|norm| we are going to focus now on the three main ones,
\begin{itemize}
	\item \mintinline{python}|norm.pdf(x,loc=0,scale=1)|, it supplies normal distribution values .
	\item \mintinline{python}|norm.cdf(x,loc=0,scale=1)|, it supplies normal cumulated distributions values.
	\item \mintinline{python}|norm.ppf(p,loc=0,scale=1)|, $0\leq q \leq 1$, it supplies inverse normal cumulated distributions values.
\end{itemize}

Let's see for these functions some examples of use, 
  
\end{paracol}

\inputminted[
frame=lines,
framesep=2mm,
baselinestretch=1.2,
%bgcolor=LightGray,
label=normal,
fontsize=\footnotesize,
linenos
]{python}{./codigos/tratamiento_datos/normal.py}

\begin{minted}{python}
x= [-5. -3.33333333 -1.66666667  '0.' 1.66666667  3.33333333 5.] 

p= [0.   0.16666667 0.33333333 '0.5'  0.66666667 0.83333333 1.] 

pdf standard [1.48671951e-06 1.54227900e-03 9.94771388e-02 3.98942280e-01
9.94771388e-02 1.54227900e-03 1.48671951e-06] 

cdf standard [2.86651572e-07 4.29060333e-04 4.77903523e-02 '5.00000000e-01'
9.52209648e-01 9.99570940e-01 9.99999713e-01] 

ppf standard [-inf -0.96742157 -0.4307273 '0.' 0.4307273 0.96742157 inf] 

pdf m=10,std=5 [0.00088637 0.0022792  0.00524438 0.01079819 0.01989543 0.03280201
0.04839414] 

cdf m=10,std=5 [0.0013499  0.00383038 0.00981533 0.02275013 0.04779035 0.09121122
0.15865525] 

ppf m=10,std=5 [-inf 5.16289217 7.8463635  10. 12.1536365 14.83710783 inf] 

mean and std predefined 

pdf m=10,std=5 [0.00088637 0.0022792  0.00524438 0.01079819 0.01989543 0.03280201
0.04839414] 

cdf m=10,std=5 [0.0013499  0.00383038 0.00981533 0.02275013 0.04779035 0.09121122
0.15865525] 

ppf m=10,std=5 [-inf 5.16289217 7.8463635 10. 12.1536365  14.83710783 inf] 

\end{minted}

\begin{paracol}{2}
Si analizamos el código del ejemplo, las líneas 18 y 22 nos dan los valores que toma la ditribución normal estándar y su integral (la distribución normal acumulada) en los puntos\\ $-5,-3.33,-1.66,0,1.66,3.33,5$.
Para la distribución acumulada, podemos fijarnos en el valor correspondiente a $x=0$, el resultado obtenido es $0.5$. Efectivamente, si obtenemos un número aleatorio, empleando una distribución de probabilidad normal, $0.5$ ---un $50\%$--- es la probabilidad de obtener un número en el intervalo $(-\infty, 0]$.  

La línea 26, nos calcula la inversa de la distribución normal acumulada. Es decir nosotros damos un valor para la probabilidad y la función nos devuelve el límite derecho del intervalo al que corresponde dicha probabilidad. Así por ejemplo, para el valor $p=0.5$ que corresponde a una probabilidad del $50\%$, la función \texttt{ppf} nos devuelve el valor $0$. Es decir, para una distribución normal, tenemos una probabilidad del $50\%$ de obtener aleatoriamente un valor en el intervalo $(-\infty, 0]$. La figura \ref{fig:invcum} muestra la función inversa de probabilidad acumulada y en particular el punto  correspondiente al valor 0.5.


Los ejemplos incluidos en las líneas de código 33 a 58, repiten los cálculos anteriores pero ahora para una distribución de probabilidad normal de media $10$ y desviación estándar $5$. Lo hace de dos maneras distintas, primero indicando expresamente el valor de la media y la desviación y luego creando una nueva función con dichos valores incluidos por defecto. 
\switchcolumn
If we analyze the example code, lines 18 and 22 compute the values taken for the standard normal distribution ant its integral (the standard cumulated normal distribution) on points $-5,-3.33,-1.66,0,1.66,3.33,5$. Focus on the cumulated distribution, we can look at the value corresponding to $x=0$, the result obtained is $0.5$. Indeed, if we get a random number using a normal distribution, de value $0.5$ ---a $50\%$--- is the probability to obtain a number in the interval $(-\infty, 0]$.

Line 26 calculates the inverse of the cumulated normal distribution. That is, we give to the function a probability value and the function yields the value of the right limit of the interval this probability belongs to. So, for instance, for $p=0.5$ the function \texttt{ppf} casts back the value $0$. That is, for a normal distribution the probability of obtain randomly a number in the interval $(-\infty, 0]$ is $50\%$. Figure \ref{fig:invcum} shows the inverse standard cumulated normal distribution and, in particular, the point corresponding to the value $0.5$.

The examples included in code lines 33 to 58, repeat the calculation performed before, but now using normal distributions with mean $10$ and standard deviation $5$. We have obtain the results using to different methods. First we use the function \texttt{norm} passing to it the values of the mean and the deviation and after, we repeat these calculation but now, first we create a new function with the desired values of mean and standard deviation included by default.   
\end{paracol}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{invcum.eps}
\bicaption{Función inversa  de probabilidad normal acumulada}{Inverse standard cumulated normal distribution}
\label{fig:invcum}s
\end{figure}

\begin{paracol}{2}
Retomando el hilo de nuestro problema, lo que a nosotros realmente nos interesa, es encontrar intervalos de confianza, es decir conocer el intervalo en torno al valor medio $\bar{x}_n$ que corresponde a una determinada probabilidad. La función inversa de probabilidad acumulada nos da el intervalo entre $-\infty$ y $x$ correspondiente a una determinada probabilidad. Si combinamos los resultados de dicha función con las propiedades de simetría y área unidad de la función normal podemos obtener el intervalo centrado en torno a la media correspondiente a una determinada probabilidad.

Así el intervalo $[-x ,x]$ correspondiente a  una probabilidad del $P\%$, abarca un área bajo la curva $P/100$. Por tanto el área que queda en las colas ---a derecha e izquierda del intervalo--- es $1-x/100$. Como la distribución normal es simétrica, dicha área debe dividirse en dos, una correspondiente a la cola $[-\infty, -x]$ y la otra correspondiente a la cola $[x, \infty]$.
\switchcolumn
Coming back to our problem, we are actually interested in finding confidence intervals. That is, get to know the interval around a mean value $\bar{x}_n$ associated to a specific probability. The inverse cumulated normal probability function gives us the interval between $-\infty$ and $x$ associated to a specific probability. If we combine the results of this function with the symmetry and unit area characteristic of the normal function, we can obtain the interval centered around a measurement, associated to a specific probability.

So the interval $[-x ,x]$ corresponding to a $P\%$ probability, Cover an area beneath the curve of a normal funtion equals to $P/100$. Thus, the remaining area in the sides  --- on the left and right the interval--- is $1-x/100$. Moreover, as the normal distribution is symmetric we should divide this area by two. One half correspond to the interval $[-\infty, -x]$ and the other to the interval $[x, \infty]$.
\end{paracol}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{intervalo.eps}
\bicaption{Intervalo de probabilidad P\%}{Probability interval P\%}
\label{fig:intervalo}
\end{figure}
\begin{paracol}{2}
La figura \ref{fig:intervalo} muestra gráficamente la relación de áreas que acabamos de describir; las dos colas aparecen pintadas en azul. 

Para obtener el límite inferior, $-x$, del intervalo de probabilidad $P\%$ basta emplear la función \texttt{norm.ppf}, introduciendo como variable de entrada el área de la cola,\\ \texttt{x=norm.ppf((1-P/100)/2)}. Así por ejemplo, para obtener el límite inferior del intervalo de confianza correspondiente a una probabilidad del $90\%$ siguiendo una distribución normal,

\switchcolumn
Figure \ref{fig:intervalo} shows graphically the relationship among the areas we have just described; both tip-sides are in blue.

To obtain the lower limit, $-x$, for a probability interval $P\%$ we can use the function \texttt{norm.ppf} giving as input the area of the tip-side.\\
\texttt{x=norm.ppf((1-P/100)/2)}. So for instance, to obtain the lower limit of the confidence interval for a 90\% probability, following a normal distribution,  
\end{paracol}

\begin{center}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
	\begin{minted}{python}
In [4]: p = (1-0.90)/2

In [5]: x = norm.ppf(p)

In [6]: prin2t(x)
-1.6448536269514729
\end{minted}
\end{minipage}
\end{center}
\begin{paracol}{2}
Por tanto el intervalo de confianza correspondiente a una probabilidad del $90\%$ para una distribución normal de media cero y desviación estándar uno es, \\$I_{90\%} =[-1.6449,\ 1.6449]$

Supongamos ahora que hemos realizado un conjunto de $n$ medidas de una determinada magnitud física, por ejemplo temperatura en ºC, y obtenemos su media $\bar{x}_n=6.5$ ºC y su desviación estándar $s_{xn}=2$. Si queremos dar el resultado de la medida con una incertidumbre correspondiente a un intervalo de confianza del $95\%$, calculamos el intervalo de confianza empleando la función inversa de probabilidad acumulada normal, y después, multiplicamos el resultado por $s_{xn}$ para ajustarlo a la distribución normal que sigue la media de nuestros datos, 

\switchcolumn
Thus the confidence interval corresponding to a $90\%$ probability for a normal distribution with mean cero and deviation standard one is $I_{90\%} =[-1.6449,\ 1.6449]$

Suppose we have taken a set of $n$ measures of a physical magnitude, for instance temperature in ºC, and we calculate it mean value $\bar{x}_n=6.5$ ºC and standard deviation $s_{xn}=2$. If we can represent the result of the measure with an uncertainty corresponding to a $95\%$ confidence interval, we calculate the such confidence intervale using the inverse cumulated normal probability am after, we multiply the result for $s_{xn}$ to fit it to the normal distribution our data belong to,   
\end{paracol}

\begin{minted}{python}
In [10]: xm = 6 #media de las medidas //measures mean
			
In [11]: sigma = 2 #desviacion de las mendidad // measures deviation
			
In [12]: P = (1-0.95)/2 #probalidad acumulada hasta el límite inferior del 
#intervalo// cumulated probability up to the lower limit of the interval
			
In [18]: print(P)
0.025000000000000022
			
In [15]: from scipy.stats import norm
			
In [16]: i95 = norm.ppf(P) #limite inferior del intervalo //Lower limit of the interval
			
In [19]: print(i95)
-1.959963984540054
			
In [20]: incert = i95*sigma #limite inferior de la 
#incertidumbre//lower limit of the uncertainty 
			
In [21]: print(incert)
-3.919927969080108
\end{minted}

\begin{paracol}{2}
Por tanto, en este ejemplo, debemos expresar la medida como $6.5 \pm 3.92$ ºC indicando que el intervalo de confianza es del $95\%$.
\switchcolumn
Thus, in this example, we have to represent the measurement as $6.5 \pm 3.92$ ºC indicating that the confidence interval is $95\%$.
\end{paracol}

\begin{paracol}{2}
\paragraph{La distribución T de Student.}\index{Distribución T de Student} 
Habitualmente, cuando el número de medidas que se han tomado para estimar el valor de $\bar{x}_n$ es pequeño, los intervalos de confianza se calculan empleando la distribución t de Student de $n-1$ grados de libertad, donde  n representa el número de medidas tomadas.

\switchcolumn
\paragraph{The Student's T distribution}\index[eng]{Student's T Distribution}
Usually, when the number of measurements taken to estimate the value of $\bar{x}_n$ is small, we calculate the confidence intervals using the Studen's T distribution of $n-1$ degrees of freedom, where $n$ represent the number of measurements taken.  
\end{paracol}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{tdestudent.eps}
\bicaption{Comparación entre las distribuciones t de Student de 1, 5, 10, 20 y 30 grados de libertad y la distribución normal.}{Comparison among the Student's T dsitributions of 1, 2, 10, 20 and 30 degrees of fredom and the normal distribution}
\label{fig:tdst}
\end{figure}

\begin{paracol}{2}
Para un número pequeño de muestras, la distribución t de Student da una aproximación mejor que la distribución normal. Para un número de muestras grande, ambas distribuciones son prácticamente iguales.  La figura \ref{fig:tdst} muestra una comparación entre la distribución normal y la distribución t de Student, calculada para distintos grados de libertad. De la figura se puede concluir en primer lugar que la desviación estándar de la distribución t de Student es en todos los casos mayor que la de la distribución normal, con lo cual los intervalos de confianza para un valor dado de la probabilidad son siempre mayores. En segundo lugar se observa también que para 30 o más medidas --- $n\geqslant 30$ --- la diferencia entre las distribuciones t de Student y normal es prácticamente despreciable.

El procedimiento de cálculo es el mismo que si empleamos la distribución normal, basta sustituir la inversa de la distribución normal acumulada por la inversa de la distribución t de Student acumulada. En Python, podemos importar la distribción t de Student de modo análogo a como hicimos para la distribución normal: \texttt{scipy.stats.t}. Por defecto obtendremos una distribución de media cero y varianza uno y podremos cambiar dichos parámetros empleando las variables \texttt{log} y \texttt{scale}. Disponemos de las mismas funciones \texttt{pdf, cdf, ppf, etc} que para la distribución normal. La única diferencia es que al llamar a estas funciones debemos indicar los grados de libertad de la distribución. \texttt{t.pdf(x,df)}.

Así, para el ejemplo anterior de las medidas de temperatura de media  $\bar{x}_n=6.5$ ºC y  desviación estándar $s_{xn}=2$  si suponemos que el número de medidas tomadas es $n=5$. El intervalo de confianza correspondiente a un $95\%$  lo calcularíamos mediante la inversa de la distribución de probabilidad t de Student de $n-1$ grados de libertad acumulada como,
\switchcolumn
For a small number of samples, the Student's T distributions yields a better approximation than the normal distribution. For a large number of samples, both distributions are quite the same. Figure \ref{fig:tdst} shows a comparison among the normal distribution a Student's T distribution calculated for several degrees of freedom. Looking at the figure we may conclude that the standard deviation of the Student's T distribution is in every case larger than the normal distribution standard deviation. This means that the confidence intervals associated with a specific probability value are always larger too. Moreover, we can see also that for 30 or more measurements --- $n\geqslant 30$ --- the difference between the normal and the Student's T distributions is negligible.

The method to calculate a confidence interval is identical to the normal distribution case; we just use the inverse cumulated Student's T distribution instead of the inverse cumulated normal distribution. IN python we can import the the Student's T distribution using the same wise that in the normal distribution case: \texttt{scipy.stats.t}. We will obtain a mean zero variance one distribution by default and we can change these parameters using using the variables, \texttt{log} y \texttt{scale}. The same functions \texttt{pdf, cdf, ppf, etc} as for the normal distribution are available The main difference  is that now we can input the distribution degrees of freedom to the functions \texttt{t.pdf(x,df)}. 

So, for the previous example of temperature measurements, with mean $\bar{x}_n=6.5$ ºC and standard deviation $s_{xn}=2$ supposing that we have taken $n=5$ measurements. We calculate the $95\%$ confident interval using the inverse cumulated Student's T distribution of five degrees of freedom as follows,
\end{paracol}

\begin{minted}{python}
In [22]: from scipy.stats import t #importamos la distribucion T de Student//
#import the Student's T #distribution

In [23]: P = (1-0.95)/2 #probalidad acumulada hasta el límite inferior del 
#intervalo// cumulated probability up to the lower limit of the interval

In [24]: i95 = t.ppf(P,4) #calculamos con 5-1 grados de libertad// we calculate 
#with 5-1 degrees of freedom

In [25]: print(i95) #límite inferior del itervalo de confianza// 
#Confidence interval lower limit 
-2.7764451051977987

In [26]: incert = i95*sigma #límite inferior de la incertidumbre//
#Uncertainty lower limit

In [27]: print(incert)
-5.5528902103955975
\end{minted}

\begin{paracol}{2}
Por tanto deberíamos expresar el valor de la medida realizada como $6.5\pm 5.55$ ºC. Si comparamos este resultado con el obtenido empleando la distribución normal, vemos que el intervalo de confianza y, por tanto, la incertidumbre han aumentado.

\subsection{Propagación de la incertidumbre: Estimación de la incertidumbre de medidas indirectas.}

Supongamos que deseamos obtener la incertidumbre de una determinada magnitud física $y$ que no hemos medido directamente, sino que se determina a partir de otras cantidades $x_1,x_2,\cdots,x_n$ empleando una relación funcional $f$,

\switchcolumn
Therefore, we should represent the measurement value as $6.5 \pm 5.55$ ºC. Comparing this result with the one obtained using the normal distribution, we can see that the confidence interval and, consequently, the uncertainty have increased.

\subsection{Uncertainty propagation:\\ uncertainty estimation of indirect measurements.}

Suppose we wish to get the uncertainty of a physical magnitude $y$ that we have not measured directly, but that is determined from other measurements $x_1,x_2,\cdots,x_n$ using a functional relationship $f$,  
\end{paracol}

\begin{equation*}
y = f(x_1,x_2,\cdots,x_n)
\end{equation*}

\begin{paracol}{2}
La función $f$ suele recibir el nombre de ecuación de medida, y no tiene por qué representar simplemente una ley física; de hecho, debería incluir entre sus entradas cualquier cantidad que pueda contribuir a modificar significativamente la incertidumbre de $y$. Por ejemplo: diferentes observadores, laboratorios, experimentos, horas a las que se han realizado las observaciones, etc.

La incertidumbre asociada al valor de $y$, a la que llamaremos $u_c(y)$, se expresa en función de la desviación estándar de $y$,  
\switchcolumn
Function $f$ is referred to as a measure equation; it does not necessarily represent a physical law. In fact, $f$ should encompass any quantity that can significantly alter the uncertainty of $y$; for instance, different observers, laboratories, experiments, the time the observations have been carried out, etc.   

The uncertainty associated to the value taken for $y$, that we will denote $u_c(y)$, is described using the standard deviation of $y$,
\end{paracol}

\begin{equation*}
u_c(y) =\sqrt{s_c^2(y)},
\end{equation*}

\begin{paracol}{2}
donde  $s_c^2(y)$ se define como la  varianza \emph{combinada} de $y$, que se estima en primera aproximación a partir de la expansión en serie de Taylor\footnote{En primera aproximación empleamos un desarrollo de Taylor de primer orden. En realidad, lo adecuado o no de este método depende de las características de la función $f$. No discutiremos aquí este problema.} de la función $f$.	
\switchcolumn
where $s_c^2(y)$ is defined as the \emph{combined} variance of $y$, that can be estimated in a first approximation using the Taylor's expansion\footnote{In first approach we use the first-order Taylor's expansion. Actually, this method could be valid or not depending on the features of function $f$. We do not discusse thsi problem here.} of function $f$.    
\end{paracol}
\begin{equation*}
s_c^2(y) = \sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 s^2(x_i) + 2\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\partial f}{\partial x_j} c_v(x_i,x_j)
\end{equation*}

\begin{paracol}{2}
Donde $s^2(x_i)$  representa la varianza asociada a la entrada $x_i$ y $c_v(x_i, x_j)$ la covarianza entre las entradas $x_i$ y $x_j$. 

La covarianza entre dos variables $z$ y $t$ de las que se tienen $n$ muestras, puede estimarse a partir de las muestras como,
\switchcolumn
Were $s^2(x_i)$ represents the variance associated to the input $x_i$ and $c_v(x_i,x_j)$ de covariance between inputs $x_i$ and $x_j$.

If we have $n$ samples of a pair of variables $z$ y $t$ , we can estimate their covariance using the samples as follows, 
\end{paracol}
\begin{equation*}
c_v(z,t) =\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(z_i-\bar{z})(t_i-\bar{t})
\end{equation*}

\begin{paracol}{2}
De modo análogo a como hicimos en el caso de la varianza de la media de un conjunto de medidas, podemos relacionar la covarianza entre las medias de dos variables, con la covarianza entre $n$ medidas de dichas variables como,
\switchcolumn
Following the same steps that in the variance calculation for the mean of a set of measurements, we may relate the covariance between the means of two variables with the covariance among the $n$ measurements of such variables as, 
\end{paracol}
\begin{equation*}
c_v(\bar{z},\bar{t}) =\frac{c_v(z,t)}{n}
\end{equation*}
\begin{paracol}{2}
En muchos casos de interés no existe correlación entre las variables de entrada. En estos casos, los valores de la covarianza será nulos y podemos simplificar la ecuación empleada en el cálculo de $s_c^2(y)$,
\switchcolumn
Frequently there is no correlation among input variables. In these cases, the covariance values are zero and we can simplify the equation used for calculating $s_c^2(y)$,
\end{paracol}
\begin{equation*}
s_c^2(y) = \sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 s^2(x_i)
\end{equation*}

\begin{paracol}{2}
Un ejemplo simple lo podemos obtener de la ecuación para la potencia disipada en una resistencia eléctrica. En este caso, el valor de la potencia disipada depende del voltaje, $V$, de la resistencia $R_0$ medida a una temperatura de referencia $t_0$, de la temperatura real a que se encuentra la resistencia $t$ y, en primera aproximación, de un coeficiente que $b$, que establece una relación lineal entre temperatura y resistencia.
\switchcolumn
We will show a easy example using the equation to determine the power dissipated in an electric resistance. In this case, the value of the power dissipated depends on the voltage, $V$, on the resistance $R_0$ measured at a reference temperature $t_0$, on the actual resistance temperature $t$ and, in a first approximation, on a coefficient $b$ that defines a linear dependence between the temperatura and the resistance.    
\end{paracol}
\begin{equation*}
P = f(V,R_o,b,t) = \frac{V^2}{R_0\left(1+b(t-t_0)\right)}
\end{equation*}
\begin{paracol}{2}
Supongamos que $b$ es un coeficiente numérico no sujeto a incertidumbre y que las  variables $V$, $R_0$, $t$ y $t_0$ no están correlacionadas entre sí. Podemos entonces expresar la varianza  en la  potencia disipada, a partir de las varianzas de las variables de entrada como,
\switchcolumn
Let's suppose that $b$ is a numerical coefficient with none uncertain and that variables $V$, $R_0$, $t$ y $t_0$ are not correlated. Then, we can determine the variance of the power dissipated from the variance of the input variables as follows,
\end{paracol}
\begin{equation*}
s_c^2(P) = \left(\frac{\partial f}{\partial V}\right)^2 s^2(V)+ \left(\frac{\partial f}{\partial R_0}\right)^2 s^2(R_0)+ \left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)^2 s^2(t)+\left(\frac{\partial f}{\partial t_0}\right)^2 s^2(t_0)    
\end{equation*}
\begin{paracol}{2}
Por tanto,
\switchcolumn
Thus,
\end{paracol}
\begin{align*}
s_c^2(P) =& \left(\frac{2V}{R_0\left(1+b(t-t_0)\right)}\right)^2 s^2(V)+ \left(\frac{-V^2\left(1+b(t-t_0)\right)}{R_0^2\left(1+b(t-t_0)\right)^2}\right)^2 s^2(R_0)+\\
&+ \left(\frac{-V^2R_0b}{R_0^2\left(1+b(t-t_0)\right)^2}\right)^2 s^2(t)+\left(\frac{V^2R_0b}{R_0^2\left(1+b(t-t_0)\right)^2}\right)^2 s^2(t_0)    
\end{align*}
\begin{paracol}{2}
y la incertidumbre en la potencia disipada será la raíz cuadrada de la expresión que acabamos de obtener:  $u_c(P) =\sqrt{s_c^2(P)} $

Establecer los intervalos de confianza, para una incertidumbre propagada no es tan sencillo como en el caso de una incertidumbre obtenida directamente de una medida experimental. En primera aproximación, podemos suponer que $y$ sigue una distribución normal de media el valor obtenido, a partir de la función $f$ y desviación $u_c(p)$ y estimar los intervalos de confianza del mismo modo que se describió anteriormente para una medida directa.  Pero esto no es siempre correcto. No podemos establecer en realidad ninguna ley general que relacione las distribuciones de probabilidad de las incertidumbres de las variables de entrada con la distribución de probabilidad de la incertidumbre de la variable de salida.
\switchcolumn
And the dissipated power uncertainty would be the square root of the expression just obtained: $u_c(P) =\sqrt{s_c^2(P)} $

To stablish the confidence intervals for a propagated uncertainty is not so easy as in the case o a experimental measurement straightforwardly obtained. On first approximation, we may suppose that $y$ will follow a normal distribution which mean is the value obtained using function $f$ and deviation $u_c(p)$ and obtain the confidence intervals in the same way we used for a straightforward measure. But that it is not always right. We can not stablish a general law that cast the relationship among the input variables probability distributions and the uncertainty of the output variable.   
\end{paracol}

\begin{paracol}{2}
\subsection{Ejemplo de estimación de la incertidumbre con Python.}

Para aclarar los métodos descritos en los apartados anteriores, vamos obtener la incertidumbre de la potencia disipada en una resistencia, siguiendo la ecuación descrita en el apartado anterior. La tabla \ref{tabres} muestras los datos obtenidos tras realizar 20 medidas experimentales de la tensión y la temperatura en una resistencia.
\switchcolumn
\subsection{Example of uncertainty estimation using Python.}

To clarify the methods included in previous sections, we are going to obtain the uncertainty of the power dissipated in a resistance, following the equation described in the previous section. Table \ref{tabres} shows the data obtained after performing 20 experimental measurements of the Voltage and temperature of a resistance. 
\end{paracol}
\begin{table}[h]
\bicaption{Mediciones de Temperatura y Voltaje, sobre una resistencia de prueba de 100 $\Omega$}{Temperature and Voltage Measurements on a 100 $\Omega$ test resistence  }
\label{tabres}
\centering
\begin{tabular}{cccc}
\hline
Valor nominal de la resistencia  & $R_0=100 \pm 5 \Omega$ (intervalo confianza 98\%)\\
Resistence nominal value&\hspace{2.2cm} (confidence interval 98\%) \\ 
\hline
Temperatura de referencia& $t_0=50\pm 0.1 ^oC$ (división menor del sensor $0.2^oC$) \\
Reference temperature& \hspace{2.2cm}(sensor least count $0.2^oC$)\\
\hline
Valor del parámetro b& $b = 0.4\Omega / ^oC$ (incertidumbre despreciable)\\
b parameter value & \hspace{2.2cm} (negligible uncertainty)\\
\hline
\hline
Temperatura ºC& Votaje mV\\
Temperature ºC& Voltage mV\\
\hline
 $55.7$&$761$\\
\hline 
 $62.8$&$897$\\
\hline 
 $58.1$&$879$\\
\hline 
 $60.9$&$767$\\
\hline 
 $66.3$&$758$\\
\hline 
 $59.4$&$763$\\
\hline 
 $61.8$&$762$\\
\hline 
 $62.5$&$761$\\
\hline 
 $59.4$&$790$\\
\hline 
 $61.4$&$852$\\
\hline 
 $55.7$&$816$\\
\hline 
 $65.3$&$752$\\
\hline 
 $56.9$&$848$\\
\hline 
 $57.8$&$920$\\
\hline 
 $62.9$&$743$\\
\hline 
 $59.9$&$858$\\
\hline 
 $62.6$&$761$\\
\hline 
 $59.1$&$788$\\
\hline 
 $57.9$&$775$\\
\hline
 $53.8$&$791$\\
\hline
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\begin{paracol}{2}
Para obtener la incertidumbre en el valor de la potencia disipada por la resistencia debemos en primer lugar calcular la varianza de las medidas directas suministradas en la tabla.
 
\textbullet Varianza del valor nominal de la resistencia $R_0$: En este caso, la tabla nos suministra como dato el intervalo de confianza correspondiente al 98\%.  Podemos emplear la función de Scipy \mintinline{python}|norm.ppf()| para calcular la desviación estándar de $R_0$. Como hemos visto, el límite inferior del intervalo de confianza del 98 \%, corresponde con una probabilidad acumulada de $(1-0.98)/2$,
\switchcolumn
To obtain the uncertainty of the resistance dissipated power we need first to calculate the variance of the straightforward measurements supplied on the table.

\textbullet Variance of the resistance nominal value $R_0$: In this case the table supplied the confidence interval corresponding to 98\%. we can use the Scipy function \mintinline{python}|norm.ppf()| to calculate the standard deviation of $R_0$. As we have seen, the lower limit of the 98\% confidence interval is associated with a cumulated probability of $(1-0.98)/2$,   
\end{paracol}

\begin{center}
	\begin{minipage}{\textwidth}
		\begin{minted}{python}
			In [1]: from scipy.stats import norm 

			In [2]: i98 = norm.ppf((1-0.98)/2)

			In [3]: i98
			Out[3]: -2.3263478740408408
		\end{minted}
	\end{minipage}
\end{center}

\begin{paracol}{2}
Dicha cantidad, multiplicada por la desviación estándar de $R_0$, corresponde con el limite inferior del intervalo de confianza suministrado en la tabla  para $R_0$. Por tanto,
\switchcolumn
This quantity multiplied by $R_0$ standard deviation casts the confidence interval lower limit supplied by the table for $R_0$. Then,  
\end{paracol}
\begin{center}
	\begin{minipage}{0.5\textwidth}
		\begin{minted}{python}
In [5]: sR0 = -5/i98

In [6]: sR0 = -5/i98 #R0 standard deviation 

In [7]: s2R0 = sR0**2 #R0 variance

In [8]: print('sR0=',sR0,'s2R0=', s2R0)
sR0= 2.149291623919966 s2R0= 4.619454484652525
		\end{minted}
	\end{minipage}
\end{center}


luego $s^2(R_0)= 4.6195$
\begin{paracol}{2}
\textbullet Varianza de la temperatura de referencia $t_0$: En este caso se ha expresado la incertidumbre en función de la mitad de la división más pequeña de la escala del aparato de medida. Podemos considerar por tanto que la incertidumbre estaría representada por una distribución uniforme definida en el intervalo $[-0.1\ 0.1]$. En esta caso, podemos asociar la varianza de la medida directamente con dicha distribución uniforme,
\switchcolumn
\textbullet Reference temperature variance $t_0$: In this case, the uncertainty has been expressed as half the sensor least count. We can consider then that the uncertainty is represented by an uniform distribution defined in the interval $[-0.1\ 0.1]$. In this case, we can associate straightforwardly the measurement variance with this uniform distribution.  
\end{paracol}

\begin{center}
	\begin{minipage}{\textwidth}
		\begin{minted}{python}
			In [14]: s2t0 = (1-(-1))**2/12

			In [15]: print(s2t0)
			0.3333333333333333		
		\end{minted}
	\end{minipage}
\end{center}

\begin{paracol}{2}
Así, $s^2(t_0)=0.3333$

\textbullet Varianzas de las medidas de temperatura y voltaje:
En primer lugar promediamos los valores  obtenidos de voltaje y temperatura, para calcular el valor de la medida. Numpy tiene definida la función \mintinline{python}|mean()| que permite obtener directamente el valor medio de los elementos de una array de Numpy. Podemos por tanto definir en Python dos vectores, unos para los datos de temperatura y otro para los datos de voltaje y calcular directamente las medias,
\switchcolumn
Thus, $s^2(t_0)=0.3333$

\textbullet temperature measurements and voltage measurements variances:
First we calculate the mean of the values we have obtained for temperature and voltage, taking these means as the measurement value. Numpy defines the function \mintinline{python}|mean()| which allows us directly to calculate the mean value of a Numpy array. So, we may define in Python two vectors one with the temperature data and other for the voltage data and obtain the means straightforwardly, 
\end{paracol}

\begin{center}
	\begin{minipage}{\textwidth}
		\begin{minted}{python}
In[29] t=np.array([55.7, 62.8, 58.1, 60.9, 66.3, 59.4, 61.8, 62.5, 59.4, 61.4,
55.7, 65.3, 56.9, 57.8, 62.9, 59.9, 62.6, 59.1, 57.9, 53.8])

In[30]: t
Out[30]: 
array([55.7, 62.8, 58.1, 60.9, 66.3, 59.4, 61.8, 62.5, 59.4, 61.4, 55.7,
65.3, 56.9, 57.8, 62.9, 59.9, 62.6, 59.1, 57.9, 53.8])

In[31]: t.mean()
Out[31]: 60.00999999999999
			
In [32]: v=np.array([761, 897, 879, 767, 758, 763, 762, 761, 790, 852,
816, 752, 848, 920, 743, 858, 761, 788, 775, 791])
			
In [33]: v
Out[33]: 
array([761, 897, 879, 767, 758, 763, 762, 761, 790, 852, 816, 752, 848,
920, 743, 858, 761, 788, 775, 791])
			
In [34]: v.mean()
Out[34]: 802.1
					
		\end{minted}
	\end{minipage}
\end{center}

\begin{paracol}{2}
Una vez estimadas las medias, que emplearemos como valores de las medidas de la temperatura y el voltaje,  podemos ahora estimar la varianza o la desviación estándar de las medias haciendo uso de las función de Numpy \texttt{std()}, para la desviación estándar,  y de \texttt{var()}, para la varianza.  Además, debemos aplicar el teorema central del límite, dividiendo por el número de datos empleados. Un último detalle técnico es que debemos llamar a las funciones con el parámetro \mintinline{python}|var(ddof=1), std(ddof=1)|, para que en el cálculo de la varianza y de la desviación estandar se divida por el número de datos menos uno $(n-1)$, en lugar de entre $n$. (ver sección \ref{fdi}) , 
\switchcolumn
Once mean values have been estimated, we will employ them as the values of the temperature and voltage measurements. We can now estimate the variance or the standard deviation of the mean values using the Numpy functions \texttt{std()} for the standard deviation and \texttt{var()} for the variance. Besides, we should apply the central limit theorem, dividing the result by the number of data used. A last technical detail is that we have to call the functions with the parameter \mintinline{python}|var(ddof=1), std(ddof=1)|, in order to have the calculations of the variance and the standard deviation divide by the number of data less one $(n-1)$ instead than by $n$. (see section \ref{fdii}),    
\end{paracol}

\begin{center}
	\begin{minipage}{\textwidth}
		\begin{minted}{python}
In [65]: s2t= t.var(ddof=1)/len(t) #mean temp. variance

In [66]: print(s2t)
0.5328368421052628

In [67]: s2v= v.var(ddof=1)/len(v) #mean volt. variance

In [68]: print(s2v)
145.58368421052631

In [71]: st= t.std(ddof=1)/np.sqrt(len(t)) #mean volt. standard dev

In [72]: print(st)
0.7299567398861818

In [73]: sv= v.std(ddof=1)/np.sqrt(len(v)) #mean volt. standard dev

In [74]: print(sv)
12.065806405314412
		\end{minted}
	\end{minipage}
\end{center} 
\begin{paracol}{2}
Lógicamente, los resultados muestran que las desviaciones estándar son las raíces cuadradas de las varianzas. Tenemos por tanto, $\bar{t}=60.01$, $\bar{V}=802,01$, $s^2(t)=0.5382$, $s^2(V)=145.5837$.
 
En este momento, hemos reunido ya toda la información necesaria para estimar la incertidumbre de la potencia consumida en la resistencia de nuestro ejemplo. La tabla \ref{tabdatos} contiene los datos calculados.

\switchcolumn
Obviously, the result show that the standard deviation are the square roots of the variances. So, eventually we have, $\bar{t}=60.01$, $\bar{V}=802,01$, $s^2(t)=0.5382$, $s^2(V)=145.5837$.

Now we have gathered all needed information to estimate the uncertainty of the power consumed in the resistance of our example. Table \ref{tabdatos} holds of the computed data.

We can now calculate the power,
\end{paracol}

\begin{table}[h]
\bicaption{Medidas y varianzas estimadas}{Estimated means and variances}
\label{tabdatos}
\centering
\begin{tabular}{cccc}
\hline
Variable (unidades) & Valor & Varianza  \\
Variable (units) & Value & Variance\\ 
\hline
\hline
$R_0$($\Omega$)&$100$&$4.6195$\\
\hline
b ($\Omega$/ºC)& $0.4$ &--\\
\hline
$t_0$ (ºC)& 50& 0.3333\\
\hline 
 $\bar{t}$ (ºC)&$60.01$&$0.5328$\\
\hline 
$\bar{V}$(mV)& $802.01$&$145.5837$\\
\hline
\hline
\end{tabular}
\end{table}


\begin{equation*}
P = \frac{V^2}{R_0\left(1+b(t-t_0)\right)}=\frac{0.80201^2}{100\left(1+0.4(60.01-50)\right)} =  0.001285 W = 1.285 mW
\end{equation*}

\begin{paracol}{2}

Donde hemos introducido el voltaje en voltios, para  obtener la potencia directamente en vatios.

A continuación, propagamos la incertidumbre de las variables de entrada a la de salida,
\switchcolumn
Where we have introduced the voltage in volts in order to obtain the power directly in watts.

Subsequently, we propagate the uncertainty o the input variables to the output, 
\end{paracol}
\begin{align*}
s_c^2(P) =& \left(\frac{2V}{R_0\left(1+b(t-t_0)\right)}\right)^2 s^2(V)+ \left(\frac{-V^2\left(1+b(t-t_0)\right)}{R_0^2\left(1+b(t-t_0)\right)^2}\right)^2 s^2(R_0)+\\
&+ \left(\frac{-V^2R_0b}{R_0^2\left(1+b(t-t_0)\right)^2}\right)^2 s^2(t)+\left(\frac{V^2R_0b}{R_0^2\left(1+b(t-t_0)\right)^2}\right)^2 s^2(t_0)=\\
=& \left(\frac{2 \cdot 0.80201}{100\left(1+0.4(60.01-50)\right)}\right)^2 \cdot 1.455836\cdot10^{-4} + \left(\frac{- 0.80201^2\left(1+0.4(60.01-50)\right)}{100^2\left(1+0.4(60.01-50)\right)^2}\right)^2 \cdot 4.619+\\
&+ \left(\frac{- 0.80201^2\cdot100\cdot0.4}{100^2\left(1+0.4(60.01-50)\right)^2}\right)^2\cdot 0.5328 +\left(\frac{0.80201^2\cdot100\cdot0.4}{100^2\left(1+0.4(60.01-50)\right)^2}\right)^2 0.3333=\\
=&1.4959\cdot10^{-09} + 7.6327\cdot10^{-10} + 5.6252\cdot10^{-09} + 3.5189\cdot10^{-09} =  1.1403\cdot 10^{-08}
\end{align*} 

\begin{paracol}{2}
En este caso, hemos multiplicado la varianza del voltaje $s^2(V)$ por $10^{-6}$, para obtener $s_c^2(P)$ en W$^2$. Podemos expresar ahora la incertidumbre de la potencia consumida en función de la desviación estándar como,

\switchcolumn
In this case, we have multiply the voltage variance $s^2(V)$ by $10^{-6}$, to obtain the $s_c^2(P)$ in W$^2$. We can now represent the uncertainty of the consumed power as a function of the standard deviation as,
\end{paracol}
\begin{equation*}
u_c(P) = \sqrt{s_c^2(P)} =  1.0678\cdot 10^{-4} W
\end{equation*}
\begin{paracol}{2}
Con lo que finalmente expresaríamos la medida indirecta de la potencia consumida como, $P = 1.285 \pm 0.10678 $ mW. Si suponemos que la distribución de probabilidad asociada a la incertidumbre de la potencia es normal, la incertidumbre así expresada (mediante la desviación estándar) representaría un intervalo de confianza del $68.27\%$. 
\switchcolumn
And eventually we can represent the indirect measurement of the consumed power as, $P = 1.285 \pm 0.10678 $ mW. If we suppose that the probability distribution asociated to the power uncertainty is normal, the uncertainty so represented (using the standard deviation) represents a confidence intervar of $68.27\%$. $s_c^2(P)$ en W$^2$.
\end{paracol}
\begin{paracol}{2}
\section{Una nota sobre Pandas.}
\sectionmark{Una nota sobre Pandas. \textreferencemark\ A note on Pandas.}
Python cuenta con un módulo específico para tratar con datos. Se trata de Pandas. Una descripción detallada de este módulo queda fuera del alcance de estos apuntes. Aquí simplemente daremos una muy breve introducción con un ejemplo de uso. Para ello tomaremos datos de la generación de energía electrica en España durante el 19 de marzo de 2025. Los datos están disponibles en la página web de Red Eléctrica,
\switchcolumn
\section{A note on Pandas}
Python has a specific module to deal with data, named Pandas. A detailed description o this module is far beyond the reach of these notes. We are only to supply a very brief introduction to it, following a use case. To do this, we will the take data of the electrical generation in Spain during  the 19th of March, 2025. These data are available in the Red Eléctrica Web Page  
\end{paracol}



\begin{center}
\href{https://demanda.ree.es/visiona/peninsula/nacionalau/total/2025-03-19}{https://demanda.ree.es/visiona/peninsula/nacionalau/total/2025-03-19}
\end{center}

\begin{paracol}{2}
Para obtenerlos los hemos descargado en formato csv, en un archivo llamado \emph{generacion20250319MW.csv}. Este formato --'comma-separated values'-- es compatible con los programas de hojas de cálculo estándar.

Los datos contenidos en el fichero csv, corresponden a la producción total de potencia eléctrica en Megawatios, entre las 21.00 horas del días 18.03.2025 y las 03.00 horas del día 20.03.2025. Los datos se suministran a intervalos de 5 minutos y contienen las cantidades generadas por los distintos sistemas de producción: Eólica, Nuclear, etc.

A continuación, incluimos un script de Py\-thon en el que se muestra un análisis my sencillo de los datos descargados.
\switchcolumn
We have download the data into a file called \emph{generacion20250319MW.csv}. The file has csv format --'comma separated values'-- and it is compatible with standard spread sheet programs.

Data contained in the csv file, correspond to the total Power generation in Megawatts, since the 21.00 hour of 2025.03.18 to 03.00 hour of 2025.03.20. Data are supplied in regular intervals of 5 minutes and hold the quantities generated by the different production systems Nuclear power, wind power, etc.

Next, we present a Python's script that shows a simple analysis of the downloaded data.    
\end{paracol} 
\inputminted[
frame=lines,
framesep=2mm,
baselinestretch=1.2,
%bgcolor=LightGray,
label=datos\_electrica\_pandas.py,
fontsize=\footnotesize,
linenos
]{python}{./codigos/tratamiento_datos/datos_electrica_pandas.py}

\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=15cm]{datos_electrica_na.png}
	\bicaption{Datos de generación de energía eléctrica, Red Eléctrica 19.03.2025, cargados en un \emph{Data Frame} de Pandas}{Electrical Power generation, Red Eléctrica 19.03.2025, loaded into a Pandas' Data Frame}
	\label{fig:datafna}
\end{figure}

\begin{paracol}{2}
 	
Veamos en detalle lo que hace éste codigo.

En la línea 9 importamos Pandas, del mismo modo que importaríamos cualquier otro módulo de Python. 

En la línea 12 cargamos el fichero de datos en Python. Para ello, empleamos una función específica de Pandas \mintinline{python}|pd.read_csv|. Este comando permite leer un fichero tipo csv y lo carga en una variable especial de Pandas, cuyo tipo se conoce como \emph{DataFrame}, llamada \mintinline{python}|generacion_mw|. La figura \ref{fig:datafna}, muestra una vista de dicha variable empleando el visor de variables de Spyder. La primera fila muestra una cabecera, que en este caso, por la estructura del fichero csv cargado, no contiene nombres significativos (Unnamed:\#). Además, tenemos una línea de datos que contiene NaNs. Una de las ventajas de Panda, es que, los \emph{DataFrames} contienen un gran número de funciones propias para su manipulación. Sin nos fijamos, es en la fila dos de la tabla donde aparecen los nombre de las variables contenidas en cada columna.

Nos gustaría que los datos de esta fila dos fueran los que dieran nombre a las columnas. Para hacer este cambio, utilizamos el comando \mintinline{python}|rename| mostrado en la línea 13 del script que estamos comentado. El comando pide que se renombren la columnas, empleando los datos de las segunda fila de la tabla mediante el uso de \mintinline{python}|generacion_mw.iloc|. El parámetro \mintinline{python}|inplace = True|, obliga a que el cambio se realice sobre el propio \emph{DataFrame} en lugar de generar uno nuevo con los cambios.

Podemos ver los resultados de este cambio en la figura \ref{fig:datafint}. Efectivamente, las columnas han sido renombradas con los valores de los distintos sistemas de producción de energía eléctrica, pero dichos nombres siguen presentes en la fila uno, desde la que se han copiado a la cabecera. Además la fila cero sigue conteniendo NaNs.
\switchcolumn
Let see the performance of this program in more detail.
In line 9 we import Pandas in the same way that we would import any other Python module.

In line 12 we load the data file in Python. To do this, we use a specific Pandas function \mintinline{python}|pd.read_csv|. This command allows us to read a csv file and load its contend in a special Pandas variable named generacion\_mv, which type is known as \emph{DataFrame}. Figure \ref{fig:datafna} shows a view of this variable using the spider variable scope. The first row, shows a header that, in this case and due to the data structure, has not meaningful names (Unnamed:\#). In addition, we have got a row that contains NaNs. One advantage of Panda is that DataFrames include many built-in functions for manipulation. If we look at the table we see that row two has the names of the variables contained in each column.

We would like the data from row two to be used as the column names. We carry out this change using the \mintinline{python}|rename| command, shown in line 13 of the script we are commenting. The command changes the name of the columns using the data from the second row of the table using \mintinline{python}|generacion.iloc|. The parameter \mintinline{python}|inplace = True| forces the change to be made onto the same \emph{DataFrame} instead of creating a new \emph{DataFrame} with the changes.

We can see the results of the change in figure \ref{fig:datafint}. The column are now renamed using the names of the different power generation sources, but these names are still presented  in the first row, where they were before be copied on the header. Besides, the row zero still has NaNs. 
\end{paracol}
\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=15cm]{datos_electrica_int.png}
	\bicaption{\emph{Data Frame} con los nombres de columna corregidos pero repetidos en la fila uno. Además, las fila 0 contiene Nans }{Data Frame with the column names fixed but repeated in row 1. Besides, row 0 holds NaNs}
	\label{fig:datafint}
\end{figure}

\begin{paracol}{2}
Nos gustaría eliminar estas dos filas para dejar nuestro \emph{DataFrame} limpio. Para ello, en la línea 14 del scripts, hemos incluido el comando \mintinline{python}|drop|. Este comando nos permite eliminara líneas enteras de la tabla, empleando directamente su número de índice. En nuestro caso queremos eliminar las filas uno y dos; \mintinline{python}|generacion_mw.drop([0,1],inplace=True))|. Donde, de nuevo hemos empleado la opción \mintinline{python}|inplace = True|, para que los cambios se lleven a cabo sobre el propio 	\emph{DataFrame}. 
Podemos ver el resultado de la tabla completa en la figura \ref{fig:dataf}. Las filas cero y uno se han eliminado, dejándonos una tabla de datos coherente. 
Sin embargo, los datos, contenidos en las columnas no son numéricos. Para convertirlos en números y poder trabajar con ellos,
En la línea 15 copiamos los nombres de las columnas, en una lista, 
\switchcolumn
We would like to delete these two lines and so, leave our \emph{DataFrame} clean. To do it, we have included the command \mintinline{python}|drop| in the script line number 14. This command allows us to eliminate complete rows from the table, using directly the row index number. In our case, we want to delete rows zero and one from the table;\\ \mintinline{python}|generacion_mw.drop([0,1],inplace=True))|. Where, one more time, we have used the option  \mintinline{python}|inplace = True|, to perform the changes on the same \emph{DataFrame}. WE can see the result of the complete table in figure \ref{fig:dataf}. Rows zero and one have been deleted casting a coherent data table.
Nevertheless, the data contained in the columns are not numerical. We need to change them to numbers to work with. We perform it in two steps, first in line 15 we copy the columns names in a list,                  

\end{paracol}

\begin{center}
	\begin{minipage}{0.7\textwidth}
		\begin{minted}{python}
In [9]: lista = generacion_mw.columns

In [10]: lista
Out[10]: 
Index(['Hora', 'Eólica', 'Nuclear', 'Carbón', 'Ciclo combinado',
'Intercambios int', 'Solar fotovoltaica', 'Solar térmica',
'Térmica renovable', 'Motores diésel', 'Turbina de gas',
'Turbina de vapor', 'Generación auxiliar', 'Cogeneración y residuos',
'Andorra exportación', 'Marruecos exportación', 'Portugal exportación',
'Francia exportación', 'Francia importación', 'Portugal importación',
'Marruecos importación', 'Andorra importación', 'Hidráulica'],
dtype='object')									 	
		\end{minted}
	\end{minipage}
\end{center}

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=15cm]{datos_electrica.png}
	\bicaption{\emph{Data Frame} con los nombres de las columnas corregidos y NaNs eliminados}{Data Frame with the column names fixed and NaNs eliminated}
	\label{fig:dataf}
\end{figure}

\begin{paracol}{2}
 Despues, empleamos un bucle \mintinline{python}|for| para recorrer las columnas y cambiar el tipo de los datos a \mintinline{python}|float|. Es interesante observar que, tal y como hemos escrito el código, cambiamos los tipos de todos los datos de cada columna en un solo paso.

El comando \mintinline{python}|describe| de la línea 19, nos permite hacernos una idea de la potencia de Pandas.
\switchcolumn
After, we use a loop \mintinline{python}|for| to rerun the columns and change the data type to \mintinline{python}|float|. It in interesting to note that the code has be written to change the type of all data in a column in a single step.

The command \mintinline{python}|describe| shows us the power of Pandas module.
\end{paracol}
\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
	\begin{minted}{python}
In [3]: des = generacion_mw.describe()

In [4]: des
Out[4]: 
	     Eólica      Nuclear  ...  Andorra importación   Hidráulica
count    361.000000   361.000000  ...                361.0   361.000000
mean   11429.587258  6041.326870  ...                  0.0  5518.722992
std     3260.205128   508.590267  ...                  0.0  1199.772571
min     7740.000000  5640.000000  ...                  0.0  3440.000000
25%     8727.000000  5667.000000  ...                  0.0  4306.000000
50%     9830.000000  5673.000000  ...                  0.0  5640.000000
75%    15167.000000  6410.000000  ...                  0.0  6467.000000
max    17810.000000  7133.000000  ...                  0.0  8061.000000

[8 rows x 22 columns]	\end{minted}
\end{minipage}
\end{center} 

\begin{paracol}{2}
Con una única instrucción, Pandas nos devuelve un estudio estadístico básico de los datos de nuestra tabla. En el terminal de python se no muestran los nombres de las columnas, con los distintos tipos de generación de energía eléctrica, y en cada columna \texttt{count,mean, std, min, 25\%, 50\%, 75\%, max} los valores del nú\-mero total de datos, el valor medio, el valor mínimo, la desviación estándar, y los valores que marcan los cuartiles 25\%, 50\% (la mediana),75\% y el valor máximo.  En el terminal de python no se muestran todos los datos de la tabla \mintinline{python}|des|, solo las dos primeras columnas y las dos últimas y unos puntos suspensivos entre medias para indicarnos que hay más datos. 

Veamos con detalle el código contenido en la línea 22. Se trata de un comando asociado a los \emph{DataFrames} que permite realizar gráficos tipo 'pastel'. Lo que queremos es obtener una comparativa de la producción media obtenida de las distintas fuentes de energía. El problema es que la tabla que estamos estudiando contiene valores de producción negativos. Se trata en realidad de los intercambios energéticos como, por ejemplo, \texttt{'Francia exportación'} estos datos se toman como negativos porque se trata de energía que 'sale' del sistema español y, por tanto no está disponible para el consumo interno. El problema es que un gráfico tipo pastel, nos da gráficamente una distribución de valores respecto a un total. Debemos excluir los valores negativos. Para ello, dentro del \emph{Dataframe} \mintinline{python}|des|, escogemos los datos de la fila \mintinline{python}|mean| pero solo aquellos que sean mayores que cero: \mintinline{python}|des.loc['mean']>0|. Por último llamamos al comando \mintinline{python}|plot.pie|, para que nos dibuje el gráfico. EL resultado se puede ver en la figura \ref{fig:pastm}. Es fácil ver la proporción de cada tipo de generación empleado en el periodo que cubren los datos y, en particular, el dominio del consumo de energía eólica.
\switchcolumn
With a single instruction, Pandas renders a basic statistical study of our table data. On the python terminal we can see the names of the different kinds of Electrical power generators and in each column \texttt{count,mean, std, min, 25\%, 50\%, 75\%, max} the values corresponding to the total number of data, the mean value, the minimum, the standard deviation and the values taken by the 25\%, 50\% (the  median) and 75\% quartiles and the maximum. On the Python terminal no every data of table  \mintinline{python}|des| are shown, but only the two first and two last columns and a ellipsis in between to show us that there are more data available.

Let see in detail the code on line 22. It contains a command associated to \emph{DataFrames} Who allows us to draw Pie charts. We want to get a comparison among the mean power generation from the different generation sources. The problem is that the table we want to study holds negative production values. In fact these correspond to electrical power interchanges with other countries, such France \texttt{'Francia exportación'}. These data are taken negative because it is energy that 'gets out' of the Spanish system and, thus, it is not available for inner consumption. The problem is that a pie chart gives a graphic distribution of values that sum up a total quantity. We should exclude the negative value. To do this we chose from the  \emph{Dataframe} \mintinline{python}|des|, the data on the row \mintinline{python}|mean|, but only those that are greater than zero: \mintinline{python}|des.loc['mean']>0|. Eventually, we call the command \mintinline{python}|plot.pie| to draw the graphic. The result is shown if figure \ref{fig:pastm}. It very clear to see the distribution of each kind of power generation source used in the period covered by the data and, in particular, the dominance of wind power consumption.       
\end{paracol}
	 	
\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=13cm]{electrica_prmean.png}
	\bicaption{Distribución de la producción media de energía eléctrica en Mw en el periodo 18.03.2025:21.00h - 20.03.2025:03.00h}{Electrical mean energy during the period 03.18.2025:21.00h - 03.20.2025:03.00h}
	\label{fig:pastm}
\end{figure}
\begin{paracol}{2}
	A continuación, en la línea 24 sustituimos la columna de índices por la columna de horas. De este modo, los datos están directamente etiquetados por el tiempo en que se tomaron. El resultado es un \emph{DataFrame} nuevo, \mintinline{python}|gn_Mw_h|, en el que la primera columna son las horas.
	
	En la línea 29 empleamos el comando \mintinline{python}|plot|, asociado al nuevo \emph{Dataframe}. Por defecto, no representará los valores de cada columna con respecto a la columna de índices que ahora contiene los tiempos en los que se han realizado las correspondientes medidas. El parámetro \mintinline{python}|rot|, inclina las etiquetas del eje x de modo que no se solapen y sean legibles. Es imposible cubrir aquí todas las posibilidades de modificación que admiten los gráficos de Pandas que, a su vez, dependen del módulo matplotlib. Para más información se aconseja consultar la documentación de Pandas. La figura \ref{fig:datosele} muestra la gráfica resultante. El eje y representa la potencia en Mw generada. Los valores negativos representan exportaciones de electricidad a otros países, como ya se comentó anteriormente.
	\switchcolumn
	Following with the code of the example, in line 24 we change the column of indices by the column of hours. In this way, data are directly label with the time when they were measured. The result is a new \emph{DataFrame}, \mintinline{python}|gn_Mw_h| where the first columns are the hours. 
	
	In line 29 we use the command \mintinline{python}|plot|, associated to the new \emph{DataFrame}. By default, it will represent de values each column versus the index column, which, now, has the times when the measurements were taken. The parameter \mintinline{python}|rot| adjusts the tilt of the x-axis labels to prevent overlapping and ensure they remain legible. It is impossible to cover here all possible modifications admitted by Pandas graphics which, in turn, depends on Matplotlib module. For more information it is valuable to consult Panda documentation. Figure \ref{fig:datosele} shows the resulting graphic. The y-axis represents the power generated in Mw. As we said before, negative values are the electrical power exported to other countries.
\end{paracol}
\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=14.5cm]{electrica_tiempo.png}
	\bicaption{\emph{Data Frame} Potencia en megawatios frente al tiempo}{Electrical Power in megawatts vs time}
	\label{fig:datosele}
\end{figure}


\begin{paracol}{2}
La línea de código 32 utiliza el comando \mintinline{python}|boxplot| para dibujar un diagrama de 'bigotes' de los datos . Se trata de un diagrama muy empleado en estadística para analizar como es la distribución de un conjunto de muestras. Para ello, se obtienen los tres primeros cuartiles, es decir los valores de las muestras que superan al 25\% ($Q_1$), al 50\% ($Q_2$ o mediana) y al 75\% ($Q_3$) de los datos. los cuartiles $Q_1$ y $Q_3$ se representa en el gráfico respectivamente como los límites inferior y superior de la 'caja', ademas se señala tambien dentro de la caja la posición de la mediana. El valor $Q_2-Q_1$ recibe el nombre de rango intercuartílico ($RIC$) y habitualmente se emplea para dibujar unas líneas, ---los bigotes del diagrama--- que se extienden desde la caja. Para obtener el límite de estas líneas, se calculan los valores $Q_3+1.5RIC$ y $Q_1-1.5RIC$. De este modo, el límite superior $L_s$ lo marca el valor mayor que cumpla $L_s <= Q_3+1.5RIC$ y el límite inferior $L_i$ se elige como el valor menor que cumpla $L_i >= Q_1-1.5RIC$.
\switchcolumn
Line 32 in the code uses command \mintinline{python}|boxplot| to draw a box and whisker plot. This kind of plot is widely used in statistics to analyse the distribution of a set of samples. To perform it, we obtain the value of the first three quartiles, that is, the sample values that surpass the 25\% ($Q_1$), the 50\% ($Q_2$ or median) and the 75\% ($Q_3$) of the sample data. Quartiles $Q_1$ y $Q_3$ are represented in the box plot as the upper and lower limit of the 'box'. In addition, the position of the median is also represented in the box. The value $Q_2-Q_1$ is known as the interquartile rank ($IQR$) and usually is taken to draw a pair of lines ---the whiskers of the plot--- extending from the box. To obtain the limit of these lines, we compute the values $Q_3+1.5RIC$ y $Q_1-1.5RIC$. So, the upper limit $L_s$ is defined by the largest value of the sample, which fulfils that $L_s <= Q_3+1.5RIC$ and the lower limit $L_i$  is chosen as the lower value, which fulfils that $L_i >= Q_1-1.5RIC$.   
\end{paracol}
\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=14.5cm]{electrica_bigotes.png}
	\bicaption{Diagrama de bigotes de la potencia generada en Megawatios, distribuido por origen de producción}{Boxplot of Power generation in megawatts, distributed by production source.}
	\label{fig:datab}
\end{figure}

\begin{figure}
	\begin{subfigure}{\textwidth}
		\centering
		\includegraphics[width=10cm]{electrica_prod1.png}
		\bicaption{Distribución de la generación a las 01.05h am}{Generation distribution at 01.05h am}
		\label{fig:data01}
	\end{subfigure}
	\begin{subfigure}{\textwidth}
		\centering
		\includegraphics[width=10cm]{electrica_prod12.png}
		\bicaption{Distribución de la generación a las 12.30h am}{Generation distribution at 12.30h am}
		\label{fig:data12}
	\end{subfigure}
	\bicaption{Comparación entre la distribución de generación de energía eléctrica a la 01h am y al las 12.30h pm}{Comparison between the distribution of electricity generation at 01h am and 12.30h pm}
\end{figure}

\begin{paracol}{2}
La figura \ref{fig:datab} muestra el diagrama de bigotes obtenidos a partir del \emph{DataFrame} \mintinline{python}|gn_Mw_h|. Los datos aparecen distribuidos por la fuente de generación de energía, es decir, por las columnas del \emph{DataFrame}. Si nos fijamos en la primera entrada, \texttt{Eólica}, observamos que la caja del diagrama, para este tipo de energía va desde apróximadamente desde los 8000 hasta un poco más de 15000 Mw. La mediana, aparece representada como una línea horizontal en la mitad inferior de la caja, estaría alrededor de los 9000 Mw. El límite del bigote inferior estaría cerca de los 6000 Mw y wl límite del bigote superior cerca de 18000. En algunas columnas, como por ejemplo en la que representa la generación de electricidad mediante turbinas de ciclo combinado, se observan unos puntos negros más allá de límite de los bigotes. Representan datos atípicos, es decir, valores que no encajan con la distribución estadística del resto de los datos.
\switchcolumn
Figure \ref{fig:datab} shows a box and whisker plot drawn with the \emph{DataFrame} \mintinline{python}|gn_Mw_h|.  Data are distributed according to the generation source, that is, according to the \emph{DataFrame} columns. If we focus on the first entry, \texttt{Eólica}, We ca see that the box, for this type of energy cover approximately from 8000 to a bit more than 15000 Mw. The median is represented as a horizontal line in the lower middle of the box. It would be around 9000 Mw. The whisker lower limit would be close to 6000 Mw and the upper one near to 18000 . In some columns we can see some black dots beyond the whisker limits. See, for instance, the ciclo combinado turbines generation. These black dots represent outlayers. That is, data that do not fit with the statistical distribution of the remaining data.      
\end{paracol}


\begin{paracol}{2}
La línea de código 36 extrae la fila de datos correspondientes al tiempo \texttt{'2025-03-19 01:05'} y la línea 37 la fila correspondiente al tiempo \texttt{'2025-03-19 12:30'}. A continuación las líneas 41 y 42, dibujan sendos diagramas de pastel, que nos permiten comparar como cambia la distribución de la generación entre ambas horas (una de la madrugada, doce y media del mediodía. Algunas diferencias obvias son la gran generación de energía solar fotovoltaica a mediodía, inexistente a la una de la madrugada.
\switchcolumn
The code line 36 extracts the data row  corresponding to time \texttt{'2025-03-19 01:05'} and line 37 the data line corresponding to time \texttt{'2025-03-19 12:30'}. Then, lines 41 and 42, draw two pie charts with allow us to compare how the power generation distribution changes between these two times (one in the morning and noon). Some obvious differences are the huge generation of solar photovoltaic at noon that does not exists at night.     
\end{paracol}
\begin{flalign*}
	&&\biggr \}\reversemathwitch* 
\end{flalign*}