add 补天笔记

Author: Preisthe

docs/补天笔记/os.md

@@ -1,4 +1,8 @@
 # 操作系统
 
 - 多道程序设计：内存中有多个进程
-- 多任务处理：在不同进程间切换来执行多个进程
+- 多任务处理：在不同进程间切换来执行多个进程
+
+- 并发(concurrency) 系统通过推进所有任务（不一定同时推进）来执行多个任务
+- 并行(parallelism) 系统可以同时执行多个任务
+- 随着大多数系统上处理核心数量的不断增加，限制内核线程的数量已变得不那么重要，因此现今多数 OS 仍然采用一对一模型

docs/补天笔记/toc.md

@@ -2,55 +2,57 @@
 
 - 三种证明方法：数学归纳法、鸽巢原理、对角化
 - 字母表 $\Sigma$ 和字符串都是有限的
-- 当 Σ=∅ 时，还是存在非空的语言 L={e}
+- 当 $\Sigma=\emptyset$ 时，还是存在非空的语言 $L=\{e\}$
 - 根据 NFA 构造等价的 DFA
-- 正则语音在 并、拼接、*、补、交 运算下是封闭的
-- 正则语言 𝐿 中所有字符串的反转构成的集合 𝐿^𝑅 也是正则语言（可通过构造 NFA 证明）
-- 单个正则语言是可数的（语言 𝐿 ⊆ Σ* ，若 Σ 有限，那么 Σ* 就是可数的）
+- 正则语音在 并、拼接、$*$、补、交 运算下是封闭的
+- 正则语言 $L$ 中所有字符串的反转构成的集合 $L^R$ 也是正则语言（可通过构造 NFA 证明）
+- 单个正则语言是可数的（语言 $L \subseteq \Sigma^*$ ，若 $\Sigma$ 有限，那么 $\Sigma^*$ 就是可数的）
 - 所有正则语言构成的集合也是可数的
 - 回文语言不是正则语言（但它是上下文无关语言）
 - 对正则语言进行无限次的并/交/拼接运算无法保证结果的正则性
 - (pumping theorem) 存在整数 N，对于所有长度大于 N 的字符串 w，都可以提取重复结构，且重复结构的数量可以任意变化
 
-- 规则集合: (V−Σ)×V* 的有限子集
+- 规则集合: $(V-\Sigma) \times V^*$ 的有限子集
 - CFG 的解析树能够表示推导的等价类
 - 交换使用规则的先后顺序，产生一个偏序关系，且这两个推导是相似的，于是可以构造一个等价类
 - 最左推导：在偏序关系中最大的，即每次都选择最左边的非终结符进行替换（中序遍历）
-- ambiguous：不同的解析树生成相同的 w，有些语言只能用二义文语法来描述
+- ambiguous：不同的解析树生成相同的 $w$，有些语言只能用二义文语法来描述
 
-- PDA 的转移关系Δ：(K×(Σ∪{e})×Γ*) × (K×Γ*) 的有限子集
+- PDA 的转移关系 $\Delta$：$(K \times (\Sigma \cup \{e\}) \times \Gamma^*) \times (K \times \Gamma^*)$ 的有限子集
     - K 为状态
-    - Σ 为输入字母表
-    - Γ 为栈字母表
+    - $\Sigma$ 为输入字母表
+    - $\Gamma$ 为栈字母表
     - 左边是读取的字符（或不读取）和要弹出的字符串，右边是要压入的字符串
-- PDA 的配置定义为 K×Σ∗×Γ∗ 的一个成员，表示栈中所有的字符
-    - 假如有配置 (q,w,abc)，那么 a 在栈顶， c 在栈底
-- 上下文无关语言在 并、拼接和*上是封闭的
+- PDA 的配置定义为 $K \times \Sigma^* \times \Gamma^*$ 的一个成员，表示栈中所有的字符
+    - 假如有配置 $(q,w,abc)$，那么 $a$ 在栈顶， $c$ 在栈底
+- 上下文无关语言在 并、拼接和$*$上是封闭的
 - 上下文无关语言在补和交上不是封闭的
 - 上下文无关语言和正则语言的交集是上下文无关语言
 
 - 图灵机（原始）的纸带只有一遍无限
 - 图灵机的配置：状态、纸带上的字符、纸带上的位置
 - 所有配置均假设为从左端符号开始，且从不以空符号结尾，除非当前就扫描到了空符号
 - 复合图灵机的例子：
-  该机器从 M 1 的初始状态开始，先由 M 1 操作，直到其停机 若停机时，当前扫描到的符号为 a ，那么就启动 M 2 并以 M 2 完成后续操作；若扫描到的符号为 b ，那么就启动 M 3 并以 M 3 完成后续操作
-- M 在输入 w 上的初始配置(initial configuration) 为 (s, ▹, ⊔w)，读写头在空格上
+  该机器从 $M_1$ 的初始状态开始，先由 $M_1$ 操作，直到其停机 若停机时，当前扫描到的符号为 $a$ ，那么就启动 $M_2$ 并以 $M_2$ 完成后续操作；若扫描到的符号为 $b$ ，那么就启动 $M_3$ 并以 $M_3$ 完成后续操作
+- M 在输入 $w$ 上的初始配置(initial configuration) 为 $(s, \rhd, \sqcup w)$，读写头在空格上
 - 递归可枚举：若停则接受，也称半判定
 - 递归语言的补也是递归的
 
 - 图灵机的拓展：多条、多头、两路无限纸带、多维
 - NTM:
-  - 如果停机，称接受了 w；半判定
-  - 存在 N 依赖于 M，w，N 步内停机；判定
+  - 如果停机，称接受了 $w$；半判定
+  - 存在 $N$ 依赖于 $M$、$w$，$N$ 步内停机；判定
 
-- 无限制文法的规则： (V* (V−Σ) V*) × V* 的有限子集
+- 无限制文法的规则： $(V^* (V-\Sigma) V^*) \times V^*$ 的有限子集
 - 当且仅当语言是递归可枚举时，它由文法生成
-- 由 SwS 生成的 f(w) 是文法可计算的
+- 由 $S wS$ 生成的 $f(w)$ 是文法可计算的
 
 - 基础函数：
   - 零函数
   - 后继函数
   - 投影函数
 - 基础函数 + 复合 + 原始递归 = 原始递归函数
 - 按情况定义的函数（谓词）也是原始递归函数
-- 最小化：计算满足条件的最小整数
+- 最小化：计算满足条件的最小整数
+
+- 递归可枚举语言类在补操作下不封闭