diff --git a/chap10/chap10.tex b/chap10/chap10.tex
index 3d7aff1..0b57f6c 100644
--- a/chap10/chap10.tex
+++ b/chap10/chap10.tex
@@ -162,13 +162,14 @@ \section{第一阶段：肌肉骨骼系统动力学建模}
 		反馈还表明身体运动会影响系统的其他元素。 \label{fig:10_4}}
 \end{figure}
 
+
 正如我们在第~\ref{chap:chap4}~章中看到的，肌肉兴奋和激活之间的关系受运动单元动作电位和横桥循环的动态控制。
 肌肉的激活 ($a$) 可以通过将其时间导数 ($\dot{a}$) 与电流激活和兴奋 ($u$) 关联来建模，如公式~\ref{eq:4_1}~所示。
 
 
 肌肉激活是肌肉-肌腱收缩动力学模型的输入，肌肉-肌腱执行器（和）的长度和伸长速度也是如此。
 如第~\ref{chap:chap5}~章所述，肌肉和肌腱的动力学受横桥形成的时间过程、肌动蛋白丝的滑动以及肌腱的动力学控制。
-肌肉产生的力量 ($F^M$) 并通过其肌腱传递的力量 ($F^T$) 可以用四条无量纲曲线和五个肌肉特定参数来估算，如第~\ref{chap:chap5}~章所述。
+肌肉产生的力量 ($F^M$) 并通过其肌腱传递的力量 ($F^T$) 可以用 4 条无量纲曲线和 5 个肌肉特定参数来估算，如第~\ref{chap:chap5}~章所述。
 当应用于骨骼时，肌肉力量会产生关于关节的力矩，如第~\ref{chap:chap6}~章所述。
 肌肉产生的关节力矩导致关节和身体节段加速，从而产生运动。
 
@@ -316,6 +317,7 @@ \section{第三阶段：测试动态模拟的准确性}
 	\caption{刚性肌腱近似法可以大幅缩短模拟肌腱相对较短的肌肉所需的时间（上图），但会引入肌肉-肌腱力的误差（下图），尤其是在肌腱长度相对于最佳纤维长度较长的情况下\cite{millard2013flexing}。 \label{fig:10_8}}
 \end{figure}
 
+
 1990 年，我开发了一个膝盖模型，用简单的几何形状来表示复杂的生物接触面（图~\ref{fig:10_9}）。
 当时计算机速度慢且价格昂贵，所以我需要一个能够以较少的计算量计算出穿过膝盖的肌肉力臂的模型。
 该模型在近 30 年的时间里一直表现良好。
diff --git a/chap3/chap3.tex b/chap3/chap3.tex
index b72b407..151f5ea 100644
--- a/chap3/chap3.tex
+++ b/chap3/chap3.tex
@@ -1,6 +1,6 @@
 \chapter{跑步} \label{chap:chap3}
 
-如果你能用六十秒的长跑来填补这无情的一分钟……
+如果你能用 60 秒的长跑来填补这无情的一分钟……
 \begin{flushright}
 	——拉迪亚德$\cdot$吉卜林
 \end{flushright}
@@ -56,13 +56,14 @@ \section{跑步步态周期}
 		\textit{站立}和\textit{摆动}的时间百分比会随着跑步速度和风格而变化。 \label{fig:3_1}}
 \end{figure}
 
+
 腾空阶段的存在是我们区分行走和跑步的一个方式。
 事实上，人们很容易相信它是跑步的特征，不仅对人类如此，对其他动物也是如此。
 然而，我们很快就会看到，当我们从行走步态转换为跑步步态时，会发生另一种质的变化，从生物力学的角度来看，这一点更为重要。
 
 
 用于量化跑步步态周期的指标与用于步行的指标类似。
-步长是两个连续足迹之间沿行进线的距离。
+步长是 2 个连续足迹之间沿行进线的距离。
 连续两步所走的距离，或一个步态周期所走过的距离，称为步长。
 足部接触事件发生的速率（相当于步长持续时间的倒数）称为步频；
 迈步的速率称为步频。
@@ -102,6 +103,7 @@ \section{地面反作用力}
 		垂直地面反作用力在足跟着地时出现一个急剧的峰值\cite{yong2020foot}。 \label{fig:3_2}}
 \end{figure}
 
+
 图~\ref{fig:3_2}~显示了后脚掌着地的跑步者（即用脚跟着地的跑步者）身上特有的双峰垂直地面反作用力。
 虽然行走时的地面反作用力也有两个峰值，但跑步时第一个峰值较短，是由于脚跟着地产生的。
 某些跑步者，尤其是那些从小就赤脚跑步的跑步者，会用前脚掌着地。
@@ -109,6 +111,7 @@ \section{地面反作用力}
 有人认为这种跑步方式更“自然”，可以防止与冲击相关的伤害，但后续研究对这一结论提出了质疑。
 从小就用后脚掌着地的跑步者如果改为用前脚掌着地，尤其是在没有经过适当训练的情况下，可能会有受伤的风险。
 
+
 \begin{figure}[!htb]
 	\centering
 	\includegraphics[width=0.9\linewidth]{chap3/3_3}
@@ -166,7 +169,7 @@ \section{跳跃和跑步中的弹性机制}
 然而，从生物力学的角度来看，它们使用的机制与人类跑步时类似。
 
 
-20世纪70年代初，特伦斯$\cdot$道森和理查德$\cdot$泰勒训练袋鼠佩戴面罩，在跑步机上以1至22公里/小时的速度跳跃——这项实验无疑需要高超的动物操控技巧。
+20 世纪 70 年代初，特伦斯$\cdot$道森和理查德$\cdot$泰勒训练袋鼠佩戴面罩，在跑步机上以1至22公里/小时的速度跳跃——这项实验无疑需要高超的动物操控技巧。
 面罩让研究人员能够测量动物的代谢能量消耗，而这正是泰勒当时研究的主题。
 他针对袋鼠和其他​​动物进行的大量实验，让生物学家们注意到能量消耗是影响动物行为的关键因素。
 
@@ -179,12 +182,12 @@ \section{跳跃和跑步中的弹性机制}
 图~\ref{fig:3_7}A~中一个引人注目的特征是，当袋鼠的速度超过 7 公里/小时时，运送成本略有下降。
 如图~\ref{fig:3_7}C~和 D 所示，在跳跃阶段，它们主要通过增加步幅来提高速度。
 步频几乎保持不变。这一结果与袋鼠的质量弹簧模型（类似于图~\ref{fig:3_5}）一致，因为弹簧质量的固有频率不会随着其运动幅度的变化而变化。
-Dawson和Taylor指出，袋鼠的跟腱非常适合储存和释放弹性能量，并认为这种机制使跳跃更加高效，并使其能够高速跳跃。
+Dawson 和 Taylor 指出，袋鼠的跟腱非常适合储存和释放弹性能量，并认为这种机制使跳跃更加高效，并使其能够高速跳跃。
 
 
 大约在这个时候，泰勒在意大利乔瓦尼$\cdot$卡瓦尼亚的实验室里了解到了测力板，于是他带着他的动物（袋鼠、猴子、狗和火鸡）来到米兰，在卡瓦尼亚当时刚刚发明的实验中试用它们。
-最终的研究成果发表于1977年，进一步证明了袋鼠会储存弹性能，并在跳跃过程中释放。
-在高达30公里/小时的速度下，氧气消耗约占袋鼠加速重心所需能量的三分之一；
+最终的研究成果发表于 1977 年，进一步证明了袋鼠会储存弹性能，并在跳跃过程中释放。
+在高达 30 公里/小时的速度下，氧气消耗约占袋鼠加速重心所需能量的三分之一；
 剩余的能量必定是由肌肉和肌腱中的弹性储存提供的。
 
 
@@ -221,7 +224,7 @@ \section{跳跃机器人}
 Raibert 的第一个机器人用一条弹性腿在平面上跳跃（图~\ref{fig:3_8}）。
 该机器人受到机械约束以防止侧翻，并被拴在一台控制计算机和外部压缩空气及电源上。
 腿部在可调节刚度的弹簧（气缸）上弹跳，弹簧为每次跳跃提供所需的能量。
-控制器由三个独立组件组成：
+控制器由 3 个独立组件组成：
 第一个组件通过向气缸充气和放气来调节垂直运动，调整腿部刚度；
 第二个组件通过在飞行过程中适当定位脚部来保持平衡；
 第三个组件通过在站立时在腿和身体之间施加扭矩来稳定身体的姿态（倾斜度）。
@@ -236,11 +239,12 @@ \section{跳跃机器人}
 		与有袋动物不同，该机器人只能在跳跃时保持平衡\cite{raibert1984machines}。 \label{fig:3_8}}
 \end{figure}
 
-同样的三段式控制策略也被用于动态平衡一个类似的3D跳跃机器人\cite{raibert1984machines}。
+
+同样的三段式控制策略也被用于动态平衡一个类似的 3D 跳跃机器人\cite{raibert1984machines}。
 该机器人同样依靠一条弹性腿弹跳，每次跳跃时储存和释放能量。
 然而，与其平面前身不同的是，机器人的躯干不受约束，因此平衡控制器可以调节其俯仰角和滚转角。
-该机器人的最高速度可达2.2米/秒（慢跑速度），并且能够从外部扰动中恢复，这由机器人设计师自豪地提供。
-Raibert后来于1992年创立了波士顿动力公司，该公司开发了一系列敏捷机器人。
+该机器人的最高速度可达 2.2 米/秒（慢跑速度），并且能够从外部扰动中恢复，这由机器人设计师自豪地提供。
+Raibert 后来于 1992 年创立了波士顿动力公司，该公司开发了一系列敏捷机器人。
 这些机器人已经发展到两条腿和四条腿，但它们仍然基于相同的原理。
 在近二十年开发尖端机器人之后，该公司宣布计划于2019年推出其首款商业模型——受犬类启发的SpotMini（图~\ref{fig:3_9}）。
 
@@ -253,9 +257,10 @@ \section{跳跃机器人}
 \end{figure}
 
 
+
 \section{调谐轨迹}
 
-20世纪70年代中期，托马斯$\cdot$麦克马洪接到了一个不寻常的求助电话。
+20 世纪 70 年代中期，托马斯$\cdot$麦克马洪接到了一个不寻常的求助电话。
 哈佛大学正在修建一条新的室内跑道，承包商与田径教练在弯道坡度应该多大的问题上意见不合\cite{wingerson1983lion}。
 在麦克马洪解决了这个问题（支持了田径教练的意见）后，他们又问了他另一个问题：跑道表面应该有多硬？
 
@@ -281,7 +286,7 @@ \section{调谐轨迹}
 		分析了该系统在站立初期（中）的压缩和站立后期（右）的回弹动态，以找到最适合腿部特性的跑道弹簧刚度\cite{mcmahon1979influence}。 \label{fig:3_10}}
 \end{figure}
 
-该系统具有 2 个自由度，其动力学由两个二阶常微分方程控制，可从图~\ref{fig:3_11}~所示的示意图推导出来：
+该系统具有 2 个自由度，其动力学由 2 个二阶常微分方程控制，可从图~\ref{fig:3_11}~所示的示意图推导出来：
 
 \begin{figure}[!htb]
 	\centering
@@ -310,6 +315,7 @@ \section{调谐轨迹}
 他们的第一个意外发现是，在一系列中等刚度的履带上，接触时间比在非常坚硬的路面（例如混凝土路面）上跑步时的接触时间更短（$t_0$；图~\ref{fig:3_12}）。
 即使步幅保持不变，这一发现也令人预期跑步速度会有所提升，因为步频往往会随着接触时间的减少而增加。
 
+
 \begin{figure}[!htb]
 	\centering
 	\includegraphics[width=1.0\linewidth]{chap3/3_12}
@@ -320,6 +326,7 @@ \section{调谐轨迹}
 		调整区域（阴影部分）显示了减少触地时间的潜力\cite{mcmahon1984muscles}。 \label{fig:3_12}}
 \end{figure}
 
+
 但还有更好的消息。
 他们的模型过于简单，无法预测步幅，因此 McMahon 和 Greene 构建了各种刚度的跑步表面，从几乎刚性到非常柔顺的蹦床跑道，并估算了人们在这些表面上跑步时的步幅。
 正如预期的那样，与在刚性表面上跑步相比，在非常柔顺的表面上跑步的步幅显著增加（图~\ref{fig:3_13}）。
@@ -327,6 +334,7 @@ \section{调谐轨迹}
 最相关的发现是，即使在“调整区域”（在图~\ref{fig:3_12}~和图~\ref{fig:3_13}~中以灰色条纹显示），接触时间也减少了，步幅仍然增加了约 1\%。
 这是一个双赢的区域，步幅和步频都得到了增强。对于刚度在这个区域内的跑道，大约是跑步者腿部刚度的 2 到 4 倍，我们预计跑步速度会增加（相比之下，混凝土的硬度是人腿的 100 倍）。
 
+
 \begin{figure}[!htb]
 	\centering
 	\includegraphics[width=1.0\linewidth]{chap3/3_13}
@@ -336,17 +344,19 @@ \section{调谐轨迹}
 		在此区域，步长约增加了 1\% \cite{mcmahon1984muscles}。 \label{fig:3_13}}
 \end{figure}
 
+
 哈佛大学、耶鲁大学、麦迪逊广场花园和新泽西州的梅多兰兹体育馆都建造了刚度达到该范围内的室内跑道。
-哈佛大学的跑道设计刚度约为190千牛/米，对于体重75公斤的跑步者来说，跑道挠度约为8毫米（假设跑步者在站立中段承受两倍于其体重的力，如图3.3所示）。
-跑步者不仅将时间提高了约2\%或3\%（约每英里5秒），而且受伤率也降低了，这可能是因为在经过调整的跑道上落地更轻柔。
+哈佛大学的跑道设计刚度约为 190 千牛/米，对于体重75公斤的跑步者来说，跑道挠度约为 8 毫米（假设跑步者在站立中段承受 2 倍于其体重的力，如图~\ref{fig:3_3}~所示）。
+跑步者不仅将时间提高了约 2\% 或 3\%（约每英里5秒），而且受伤率也降低了，这可能是因为在经过调整的跑道上落地更轻柔。
 
 
 如今的跑道建造非常注重跑道回馈给跑步者的能量。
-毫无疑问，它们的建造比1977年启用的哈佛跑道更为复杂。
+毫无疑问，它们的建造比 1977 年启用的哈佛跑道更为复杂。
 即使麦克马洪的研究成果已不再代表当时的先进水平，他对跑步的分析以及对调校跑道的设计，仍然是用简单模型就能获得高里程的绝佳范例。
 类似的分析也可用于设计跑鞋，我们接下来会看到。
 
 
+
 \section{改进跑鞋的弹性机制}
 
 Rodger Kram 和他的同事评估了耐克的一款原型跑鞋，这款跑鞋的弹性泡沫中底嵌入了一块碳纤维板，用于储存和释放弹性能量。
@@ -364,6 +374,7 @@ \section{改进跑鞋的弹性机制}
 \end{figure}
 
 
+
 \section{腿部僵硬程度随体重变化}
 
 质量-弹簧模型分析表明，许多动物的腿部僵硬程度都与体重成正比\cite{farley1993running}。
@@ -387,9 +398,11 @@ \section{腿部僵硬程度随体重变化}
 	\caption{\textit{腿长}定义为\textit{压力中心}和\textit{骨盆}几何中心之间的距离。 \label{fig:3_15}}
 \end{figure}
 
+
 这些实验表明，负重跑步时，无量纲腿部刚度会增加，因为峰值垂直地面反作用力会增加，而支撑相腿长的变化会减小（图~\ref{fig:3_16}）。
 这些实验与 Farley 等人\cite{farley1993running} 指出的趋势相符，即腿部刚度会随着体重的增加而增加。
 
+
 \begin{figure}[!htb]
 	\centering
 	\includegraphics[width=1.0\linewidth]{chap3/3_16}
@@ -398,12 +411,14 @@ \section{腿部僵硬程度随体重变化}
 		随着负重增加，峰值垂直地面力增加（$p$ < 0.001），腿长变化减小（$p$ = 0.025）\cite{silder2015running}。 \label{fig:3_16}}
 \end{figure}
 
+
 腿部僵硬程度也可能因所穿跑鞋的类型而变化。
 跑鞋的缓冲功能通常用于减少冲击负荷，正如我们在上文描述的调整跑道中看到的那样。
 然而，Kulmala 及其同事\cite{kulmala2018running}报告称，与传统跑鞋相比，穿着高缓冲跑鞋跑步会增加腿部僵硬程度，并增大冲击负荷。
 因此，在尝试减少跑步过程中的肌肉骨骼负荷时，需要考虑跑鞋力学与肢体僵硬程度之间复杂的相互作用。
 
 
+
 \section{步态转换}
 
 随着走路速度的增加，支撑期缩短；
@@ -437,6 +452,7 @@ \section{步态转换}
 请注意，如果您需要在固定的时间内覆盖特定的距离，那么舒适地步行一段路程，然后跑步完成剩余路程可能比全程快速行走或慢跑更节省能量。
 与步行一样，我们自然会选择步长和步频等变量来最小化以特定速度跑步时的能量消耗。
 
+
 \begin{figure}[!htb]
 	\centering
 	\includegraphics[width=0.85\linewidth]{chap3/3_18}
@@ -459,6 +475,7 @@ \section{双足质量弹簧模型}
 双支撑过程中原本会损失的能量可以通过腿部弹簧中储存的能量进行回收。
 拥有一个可以同时产生步行和跑步的单一模型表明这些步态比以前认为的更相似。
 
+
 \begin{figure}[!htb]
 	\centering
 	\includegraphics[width=1.0\linewidth]{chap3/3_19}
@@ -467,6 +484,7 @@ \section{双足质量弹簧模型}
 \end{figure}
 
 
+
 \section{跑步运动学}
 
 除了理解跑步过程中地面反作用力和能量消耗之外，理解跑步运动学也至关重要。
@@ -487,7 +505,7 @@ \section{跑步运动学}
 
 
 支撑期关节的运动有几个显著的特征。
-髋部在足部触地时（步态周期的0\%）屈曲，并在支撑期持续伸展。
+髋部在足部触地时（步态周期的 0\%）屈曲，并在支撑期持续伸展。
 相比之下，膝部在足部触地时开始轻微屈曲，在支撑期的第一阶段屈曲，然后在支撑期的第二阶段伸展。
 这种膝关节屈曲模式有助于支撑期腿部的压缩和伸展，从而导致肢体的弹簧状行为。
 对于以脚跟着地的跑步者来说，踝关节在足部触地时处于中立位置；
@@ -535,12 +553,3 @@ \section{地面反作用力和跑步速度}
 在接下来的章节中，我们将探索肌肉的结构、功能和计算建模（第~\ref{chap:chap4}-\ref{chap:chap6}~章），然后介绍通过实验测量运动来估算关节运动和肌肉力的方法（第~\ref{chap:chap7}-\ref{chap:chap9}~章）。
 之后，我们将在第~\ref{chap:chap10}-\ref{chap:chap12}~章中探索人类在行走和跑步过程中是如何协调肌肉的。
 
-
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diff --git a/chap4/chap4.tex b/chap4/chap4.tex
index 06a40ff..8982dca 100644
--- a/chap4/chap4.tex
+++ b/chap4/chap4.tex
@@ -187,7 +187,7 @@ \section{力-长度关系}
 最佳肌节长度因脊椎动物而异，但通常在 2.2 至 2.7 微米之间，在人类骨骼肌中约为 2.7 微米。
 当肌节长度超过最佳范围时，肌动蛋白和肌球蛋白的重叠量会减少，横桥循环所能产生的力量也会减少。
 当肌节长度略短于最佳长度时，源自肌节两端的细肌丝开始在肌节中部重叠并相互干扰，导致所谓的“浅上升区”的力量减弱。
-当肌节长度更短时（在“陡峭上升区”），粗肌丝会与Z盘碰撞并变形，产生阻碍横桥循环作用的力量。
+当肌节长度更短时（在“陡峭上升区”），粗肌丝会与 Z 盘碰撞并变形，产生阻碍横桥循环作用的力量。
 由于肌肉由串联和并联排列的肌节组成，我们可以观察到肌肉主动收缩过程中力量与长度之间的类似关系。
 
 \begin{figure}[!htb]
@@ -225,7 +225,7 @@ \section{力与速度的关系}
 
 肌肉产生的力量不仅取决于其长度，还取决于其长度变化的速率，这一点可能会让人感到惊讶。
 我们用力-速度曲线（图~\ref{fig:4_9}）来描述这种速率依赖性。
-这种关系最早由A. V. Hill于1938年观察到，并最终促使他和他的同事们开发了本章开头描述的“推我拉你”实验。
+这种关系最早由 A. V. Hill 于 1938 年观察到，并最终促使他和他的同事们开发了本章开头描述的“推我拉你”实验。
 
 \begin{figure}[!htb]
 	\centering
@@ -236,6 +236,7 @@ \section{力与速度的关系}
 		\textit{机械功率}是力与速度的乘积，在最大缩短速度（$v^*$；右）的约三分之一处达到最大值（$p^*$）。 \label{fig:4_9}}
 \end{figure}
 
+
 力量取决于速度的原因如下。
 肌节通过横桥循环产生力量，在此过程中，肌球蛋白头部与肌动蛋白丝结合并对其施加拉力。
 由于此过程需要时间，因此当肌节缩短时，通过横桥循环产生的主动力会减小。
@@ -279,10 +280,10 @@ \section{力与速度的关系}
 例如，传统汽车的摩擦制动器将动能转化为热能，而电动汽车则利用再生制动来捕获和储存这种能量。
 
 
-力-速度关系对收缩肌肉产生的机械功率有重要影响（图~\ref{fig:4_9}，右图）。
-当肌肉等长收缩时，可以产生很大的力，但速度为零；
-因此，作为力和速度的乘积的机械功率为零。
-在缩短速度 及以上时，机械功率也为零，此时速度很大，但不会产生力。
+力-速度关系对收缩肌肉产生的机械功率有重要影响（图~\ref{fig:4_9}~的右图）。
+当肌肉等长收缩时，可以产生很大的力，但速度为 0；
+因此，作为力和速度的乘积的机械功率为 0。
+在缩短速度及以上时，机械功率也为 0，此时速度很大，但不会产生力。
 峰值正机械功率出现在大约 $v_{\text{max}^M}$ ，此时力和速度的乘积达到最大值。
 功率-速度关系可以很好地预测日常运动的一些特征。
 例如，当骑自行车的人感觉到他们的肌肉移动得太快或太慢时，他们就会换挡，远离最大功率范围。
@@ -290,7 +291,7 @@ \section{力与速度的关系}
 
 \section{肌肉激活}
 
-我们假设，只要肌球蛋白头部靠近细丝上的结合位点且存在ATP，肌动蛋白和肌球蛋白就能进行横桥循环。
+我们假设，只要肌球蛋白头部靠近细丝上的结合位点且存在 ATP，肌动蛋白和肌球蛋白就能进行横桥循环。
 然而，当肌肉放松时，肌动蛋白上的肌球蛋白结合位点会被原肌球蛋白阻断。
 当肌肉兴奋时，钙离子被释放到细胞内空间并与蛋白质复合物肌钙蛋白结合，这会导致原肌球蛋白变形，暴露出细丝上的结合位点（图~\ref{fig:4_10}）。
 
@@ -304,15 +305,16 @@ \section{肌肉激活}
 		\ce{Ca^2+}与\textit{肌钙蛋白复合物}结合，导致原肌球蛋白变形，露出肌动蛋白上的肌球蛋白结合位点，从而允许横桥循环开始并产生力量。 \label{fig:4_10}}
 \end{figure}
 
+
 人们不禁会想：钙离子从何而来？
 如前所述，它们储存在细胞内一种类似储罐的地方。
-它们的释放由中枢神经系统（CNS）控制，它是肌肉发展过程中极其重要的一个环节，我们之前还没有提到过。
+它们的释放由中枢神经系统（Central Nervous System, CNS）控制，它是肌肉发展过程中极其重要的一个环节，我们之前还没有提到过。
 肌肉不会自行激活；通常情况下，它们只有在神经系统发出指令时才会活动。
 
 
-肌纤维具有多种结构特征，使其能够接收来自中枢神经系统（CNS）的信号，并快速传播这些信号，从而沿着整个细胞释放钙离子。
+肌纤维具有多种结构特征，使其能够接收来自中枢神经系统的信号，并快速传播这些信号，从而沿着整个细胞释放钙离子。
 运动神经元通过一个称为神经肌肉接头（neuromuscular joint）的特殊突触与每根肌纤维连接（图~\ref{fig:4_11}）。
-来自中枢神经系统（CNS）的兴奋信号会导致一种名为乙酰胆碱的神经递质跨神经肌肉接头突触转移。
+来自中枢神经系统的兴奋信号会导致一种名为乙酰胆碱的神经递质跨神经肌肉接头突触转移。
 这种转移触发细胞膜去极化，并导致正钙离子从肌浆网流出。
 横轴管系统（通常简称为 T 小管）确保去极化沿着整个肌纤维快速传播。
 T 小管是由细胞膜（称为肌膜）在细胞内延伸，将膜状指状结构伸入细胞质时形成的。
@@ -326,6 +328,7 @@ \section{肌肉激活}
 	\caption{肌纤维的结构使得动作电位能够快速传播，并协调整个长度上的横桥循环。 \label{fig:4_11}}
 \end{figure}
 
+
 当来自中枢神经系统的兴奋信号结束时，细胞开始将钙离子泵回肌浆网。
 由于钙离子是逆浓度梯度运输的，因此钙离子的再吸收过程比释放过程慢。
 
@@ -361,13 +364,14 @@ \section{速率编码}
 如果两次脉冲间隔足够近，第二次抽搐会在第一次脉冲的力完全衰减至零之前开始，从而产生高于第一次的第二个力峰值。
 随着脉冲序列频率（或“发放频率”）的增加，峰值力也会增加——直到达到阈值刺激频率，此时纤维力达到稳定水平，峰值力在更高频率下不再增加。
 该阈值刺激频率称为强直频率。
-在强直频率或以上运作的肌肉被称为融合性强直（离散的抽搐融合在一起形成平滑的力分布）；在较低频率下，肌肉被称为未融合性强直。
-通过改变刺激频率，肌肉力可以从抽搐到强直进行大约四倍的调节。
+在强直频率或以上运作的肌肉被称为融合性强直（离散的抽搐融合在一起形成平滑的力分布）；
+在较低频率下，肌肉被称为未融合性强直。
+通过改变刺激频率，肌肉力可以从抽搐到强直进行大约 4 倍的调节。
 换句话说，力的调节可以用刺激的速率来表示，因此称为速率编码。
 
 
 当然，如果速率编码是调节力量产生的唯一机制，那么许多动作将无法实现。
-许多肌肉需要超过四倍的力量变化才能完成其所需的功能范围，如果次最大肌肉力量像图~\ref{fig:4_12}~所示那样波动，我们的动作就会不稳定。
+许多肌肉需要超过 4 倍的力量变化才能完成其所需的功能范围，如果次最大肌肉力量像图~\ref{fig:4_12}~所示那样波动，我们的动作就会不稳定。
 
 
 \begin{figure}[!htb]
@@ -388,16 +392,16 @@ \section{运动单位募集}
 
 
 更详细地说，这个过程是这样运作的。
-肌肉在功能上被划分为不同的运动单位，这些运动单位由一个运动神经元及其支配的肌纤维组成（图~\ref{fig:4_13}，左图）。
+肌肉在功能上被划分为不同的运动单位，这些运动单位由一个运动神经元及其支配的肌纤维组成（图~\ref{fig:4_13}~的左图）。
 运动单位的大小不一，从数十条肌纤维到数千条肌纤维不等。
 需要精细控制的小肌肉，例如拇指肌肉，每个运动神经元仅包含少量肌纤维；而控制较粗略的大肌肉，例如背部肌肉，每个运动神经元则包含许多肌纤维。
 通常，属于一个运动单位的纤维不会聚集在一起，而是分布在整个肌肉中。
 因此，相邻的纤维通常属于不同的运动单位，并且由特定运动神经元支配的纤维可能位于多个肌束中。
-中枢神经系统会根据任务需求调整被募集的运动单位数量（图~\ref{fig:4_13}，右图）。
+中枢神经系统会根据任务需求调整被募集的运动单位数量（图~\ref{fig:4_13}~的右图）。
 
 
 运动单元的募集遵循特定的顺序，称为有序募集，正如亨尼曼（Henneman）的尺寸原则\cite{henneman1965functional}所述。
-为了产生较小的力量，中枢神经系统（CNS）仅募集小型运动单元。
+为了产生较小的力量，中枢神经系统仅募集小型运动单元。
 随着所需肌肉力量的增加，中枢神经系统也会逐渐募集更大的运动单元。
 小型和大型运动单元的区别不仅仅在于尺寸：优先募集的小型运动单元也更耐疲劳。
 因此，在进行低强度运动时，中枢神经系统会选择性地募集小型纤维，以避免肌肉疲劳。
@@ -511,6 +515,7 @@ \section{力-长度-速度-激活关系建模}
 在图~\ref{fig:4_18}~中，我们看到了亚最大激活状态（a(t) < 1）的影响，它使表面图向下缩放。
 力-长度关系中的被动成分未在图~\ref{fig:4_17}~或图~\ref{fig:4_18}~中显示，但它始终在健康肌肉中产生力量，并且不依赖于激活状态。
 
+
 \begin{figure}[!htb]
 	\centering
 	\includegraphics[width=1.0\linewidth]{chap4/4_17}
diff --git a/chap5/chap5.tex b/chap5/chap5.tex
index 38f58d0..4373fc1 100644
--- a/chap5/chap5.tex
+++ b/chap5/chap5.tex
@@ -61,6 +61,7 @@ \chapter{肌肉结构和肌肉动力学} \label{chap:chap5}
 我们将了解每个参数如何影响肌肉力量，并将其纳入肌肉-肌腱动力学模型中。
 
 
+
 \section{最佳肌纤维长度$l_o^M$}
 
 正如我们在第~\ref{chap:chap4}~章中看到的，肌节能够产生的主动力取决于其长度（图~\ref{fig:4_6}）。
@@ -112,6 +113,7 @@ \section{最佳纤维长度下的肌纤维羽状角$\phi_o$}
 		平行纤维肌肉、单羽状肌肉、双羽状肌肉和多羽状肌肉。 \label{fig:5_3}}
 \end{figure}
 
+
 如果所有肌纤维都附着在肌腱的一侧，我们称该肌肉为单羽状肌；
 如果肌纤维附着在肌腱的两侧，则称该肌肉为双羽状肌。
 在多羽状肌中，肌腱分支和肌纤维结构可能很复杂。
@@ -204,10 +206,10 @@ \section{最大肌肉收缩速度$v_\text{max}^M$}
 邻近的比目鱼肌主要由慢肌纤维组成，这些慢肌纤维非常适合在长时间站立时产生力量，因为慢肌纤维耐疲劳。
 
 
-肌纤维不仅以其收缩速度区分，还以其产生ATP的方式区分。
-有氧（即利用氧气）产生ATP的肌纤维比无氧（即无氧）产生ATP的肌纤维更耐疲劳。
+肌纤维不仅以其收缩速度区分，还以其产生 ATP 的方式区分。
+有氧（即利用氧气）产生ATP的肌纤维比无氧（即无氧）产生 ATP 的肌纤维更耐疲劳。
 慢肌纤维往往耐疲劳，而快肌纤维则易疲劳。
-人类和其他一些动物拥有第三种肌纤维类型，因此我们通常将肌纤维分为I型（慢速，耐疲劳）、IIA型（快速，中度易疲劳）或IIB型（极快，高度易疲劳）。
+人类和其他一些动物拥有第三种肌纤维类型，因此我们通常将肌纤维分为 I 型（慢速，耐疲劳）、IIA 型（快速，中度易疲劳）或IIB 型（极快，高度易疲劳）。
 通过强化训练可以增加快速且仅中度易疲劳的肌纤维比例。
 
 
@@ -306,7 +308,7 @@ \section{肌腱松弛长度 $l_s^T$}
 \section{测量肌肉特定参数}
 
 总而言之，我们定义了 5 个肌肉特异性参数，列于表~\ref{tab:5_1}，这些参数捕捉了身体肌肉之间的大部分变异性。
-我们在表 5.2 中列出了下肢主要肌肉的这些参数值。
+我们在表~\ref{tab:5_1}~中列出了下肢主要肌肉的这些参数值。
 为方便起见，我们通常将力、速度、肌肉长度和肌腱长度分别除以 、 、 和 来进行归一化，并使用波浪号表示归一化后的量（例如 ）。
 
 
@@ -435,7 +437,7 @@ \section{测量肌肉特定参数}
 只要有可能，通常最好使用从被研究对象获得的测量值来校准肌肉骨骼模型，尤其是对于已知个体间差异很大的参数（例如最大等长力）。
 
 
-肌纤维长度和羽状角可以通过解剖尸体标本或体内超声测量（图~\ref{fig:5_10}，左）。
+肌纤维长度和羽状角可以通过解剖尸体标本或体内超声测量（图~\ref{fig:5_10}~左）。
 但请注意，最佳肌纤维长度无法通过超声图像确定，因为虽然可以测量肌纤维长度，但尚不清楚该长度与产生最大主动力的长度之间的关系。
 肌节长度的测量提供了将测量的肌纤维长度与最佳肌纤维长度关联所需的信息，因为肌节的力-长度曲线是已知的。如果测量肌纤维长度 ($l^M$) 和肌节长度 ($l^S$)，则最佳肌纤维长度 ($l_o^M$) 可按如下方式计算：
 
@@ -654,7 +656,7 @@ \section{利用柔顺肌腱计算肌肉力量}
 在这种情况下，肌腱的长度可以改变，因此 $l^T(t)$ 在公式~\ref{eq:5_9}~中是一个未知数。
 处理这个额外未知数的一种策略是将肌肉长度 $l^M(t)$ 定义为状态变量，即在模拟过程中从一个时刻到下一个时刻进行数值积分的量。
 该过程的工作原理如下。
-我们提供时间零点的肌肉长度的初始值 ($l^M(t)$)、描述肌肉长度变化速率的方程（即其速度 vM(t)）以及用于根据肌肉当前长度和速度计算未来短时间长度的数值积分器。
+我们提供时间零点的肌肉长度的初始值 ($l^M(t)$)、描述肌肉长度变化速率的方程（即其速度 $vM(t)$）以及用于根据肌肉当前长度和速度计算未来短时间长度的数值积分器。
 图~\ref{fig:4_15}~中的“收缩动力学”块将具有图~\ref{fig:5_12}~所示的形式。
 
 
@@ -783,5 +785,3 @@ \section{肌肉力量产生的其他模型}
 本章讨论的模型使我们能够仅使用少量计算资源一次模拟数十块肌肉。
 我们将在第~\ref{chap:chap10}~至~\ref{chap:chap12}~章中展示我们的计算能力，以生成肌肉驱动的运动模拟。
 
-
-
diff --git a/chap6/chap6.tex b/chap6/chap6.tex
index ca8c62c..5509a8d 100644
--- a/chap6/chap6.tex
+++ b/chap6/chap6.tex
@@ -226,7 +226,7 @@ \section{力臂的肌腱偏移定义}
 
 
 考虑图~\ref{fig:6_4}~所示的系统，其中肌肉路径用线段表示。
-该表示基于三个假设：
+该表示基于 3 个假设：
 （1）肌肉的路径与肌肉力量无关（对于收缩时明显隆起的肌肉，情况可能并非如此）；
 （2）肌肉的路径可以由一系列线段定义（对于附着点较宽或路径几何形状复杂的大型肌肉，情况可能并非如此）；
 （3）肌肉-肌腱单元在邻近结构上滑动时不会产生摩擦（对于通过结缔组织附着于邻近肌肉的肌肉，情况可能并非如此）。
@@ -329,6 +329,7 @@ \section{力臂的肌腱偏移定义}
 \end{figure}
 
 
+
 \section{肌肉力臂影响肌肉长度和速度}
 
 力臂的肌腱偏移定义表明，在给定的关节运动范围内，如果肌腱单元的力臂较大，其长度变化也会较大。
@@ -397,7 +398,7 @@ \section{肌肉力臂影响肌肉长度和速度}
 \section{多关节肌肉的力臂}
 
 到目前为止，我们的分析仅限于仅跨越一个关节的肌肉，然而许多肌肉跨越多个关节，并且每个关节都有力臂。
-例如，腘绳肌（腿筋之一）的半膜肌跨越髋关节和膝关节后方，因此在平面模型中有两个力臂（图~\ref{fig:6_9}）。
+例如，腘绳肌（腿筋之一）的半膜肌跨越髋关节和膝关节后方，因此在平面模型中有 2 个力臂（图~\ref{fig:6_9}）。
 事实上，即使一块肌肉只跨越一个关节，它也会在该关节的每个自由度上分别有一个力臂。
 例如，臀大肌只跨越髋关节，它在髋关节伸展、髋关节外展和髋关节旋转时都具有力臂。
 每个自由度的力臂可以用公式~\ref{eq:6_4}~计算。
@@ -430,8 +431,8 @@ \section{多关节肌肉的力臂}
 正如我们在本章开头提到的，肌肉-肌腱长度和速度的计算可以指导运动障碍的治疗。
 这可能对以蹲伏步态行走的脑瘫患者有所帮助，在这种情况下，膝盖的屈曲程度超过正常水平（图~\ref{fig:6_10}，左）。
 这种步态异常通常归因于限制膝关节伸展的“短”或“痉挛”腘绳肌，通常通过手术延长腘绳肌来治疗。
-我和Allison Arnold与来自多家儿童医院的同事合作，研究了蹲伏步态患者的腘绳肌是否比正常人短，这表明他们可能适合接受腘绳肌延长手术。
-我们检查了152名儿童的蹲伏步态，测量了他们的关节角度和步幅持续时间，然后使用计算机模型计算了整个步态周期内腘绳肌的肌肉-肌腱长度和速度。
+我和 Allison Arnold 与来自多家儿童医院的同事合作，研究了蹲伏步态患者的腘绳肌是否比正常人短，这表明他们可能适合接受腘绳肌延长手术。
+我们检查了 152 名儿童的蹲伏步态，测量了他们的关节角度和步幅持续时间，然后使用计算机模型计算了整个步态周期内腘绳肌的肌肉-肌腱长度和速度。
 我们将结果与 45 位未受损个体计算出的相同长度和速度进行了比较。
 所有长度和速度均已标准化，以反映参与者的不同体型。
 由此绘制的图表使我们能够区分腘绳肌峰值长度短于正常值的受试者和腘绳肌峰值速度慢于正常值的受试者。
@@ -538,7 +539,8 @@ \section{肌肉结构、力臂和肌腱转移手术}
 我们必须考虑肌肉力矩臂的变化将如何影响其在所需运动范围内围绕目标关节产生力和力矩的能力。
 图~\ref{fig:6_14}~提供了肌腱转移手术的简化图。
 在此示例中，外科医生有两种选择来附着功能肌肉的位置，该肌肉的最大等长力为 1.2 kN，最佳纤维长度为 8 厘米。
-如果她选择将肌肉附着到肌肉 A 的肌腱上，新配置的肌肉的平均力矩臂将为 4 厘米（蓝色）；如果她选择附着点 B，新配置的肌肉的平均力矩臂将为 2 厘米（橙色）。
+如果她选择将肌肉附着到肌肉 A 的肌腱上，新配置的肌肉的平均力矩臂将为 4 厘米（蓝色）；
+如果她选择附着点 B，新配置的肌肉的平均力矩臂将为 2 厘米（橙色）。
 
 
 \begin{figure}[!htb]
@@ -586,7 +588,7 @@ \section{动作复杂的肌肉臂}
 \begin{figure}[!htb]
 	\centering
 	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{chap6/6_15}
-	\caption{腰大肌包裹骨盆边缘（左图）及臀大肌分离成三个区域（右图）的示意图\cite{blemker2005three}。 \label{fig:6_15}}
+	\caption{腰大肌包裹骨盆边缘（左图）及臀大肌分离成 3 个区域（右图）的示意图\cite{blemker2005three}。 \label{fig:6_15}}
 \end{figure}
 
 
@@ -600,7 +602,8 @@ \section{动作复杂的肌肉臂}
 \section{总结}
 
 我们已经了解了肌肉的力臂如何影响其产生力和关节力矩的能力。
-到目前为止，我们假设肌肉处于最大激活状态，就像在力量评估过程中一样；然而，肌肉在运动过程中很少达到最大激活状态。
+到目前为止，我们假设肌肉处于最大激活状态，就像在力量评估过程中一样；
+然而，肌肉在运动过程中很少达到最大激活状态。
 为了估算肌肉在亚最大激活状态下产生的力和力矩，我们可以使用图~\ref{fig:6_17}~所示的流程。
 在所示的示例中，\textit{肌电图}数据通过实验收集、过滤，并用于驱动激活动力学模型（第~\ref{chap:chap4}~章）。
 然后，每次肌肉激活都被用作肌肉收缩动力学模型的输入（第~\ref{chap:chap5}~章）。
diff --git a/chap7/chap7.tex b/chap7/chap7.tex
index 7a7e856..c856b23 100644
--- a/chap7/chap7.tex
+++ b/chap7/chap7.tex
@@ -114,7 +114,8 @@ \section{测量技术}
 在许多研究中，IMU 无需使用摄像头和受控照明条件，这使得人们能够在自然环境中进行生物力学实验，例如在游泳和越野跑等活动中进行实验，并能够长时间捕捉偶发事件或监测健康状况（图~\ref{fig:7_3}）。
 例如，Helen Bronte-Stewart 使用 IMU 测量受试者在模拟生活环境中行走时每条腿在矢状面上的角速度，而光学运动捕捉在这种环境中是不切实际的。
 每个摆动阶段的开始和结束都对应于他们测量的角速度信号的过零点。
-该实验装置使他们能够检测帕金森病患者的步态冻结发作（图~\ref{fig:7_4}），这是一种行走突然中断的步态障碍。IMU也已用于测量足球运动员头骨的运动（图~\ref{fig:7_5}），并可用于帮助监测运动员的大脑健康状况。
+该实验装置使他们能够检测帕金森病患者的步态冻结发作（图~\ref{fig:7_4}），这是一种行走突然中断的步态障碍。
+IMU 也已用于测量足球运动员头骨的运动（图~\ref{fig:7_5}），并可用于帮助监测运动员的大脑健康状况。
 
 
 \begin{figure}[!htb]
@@ -135,7 +136,7 @@ \section{测量技术}
 	\centering
 	\includegraphics[width=1.0\linewidth]{chap7/7_5}
 	\caption{用于监测运动员健康的运动学测量。
-		配备惯性测量装置的护齿可测量颅骨运动。头部损伤标准 (HIC) 与总加速度曲线下的面积成正比。
+		配备惯性测量装置的护齿可测量颅骨运动。头部损伤标准（Head Injury Criterion, HIC）与总加速度曲线下的面积成正比。
 		在本例中，15 毫秒时间窗口的安全阈值仅在 14.6 毫秒内累积，导致创伤性脑损伤\cite{hernandez2015six}。 \label{fig:7_5}}
 \end{figure}
 
@@ -143,7 +144,7 @@ \section{测量技术}
 
 \section{光学动作捕捉}
 
-动作捕捉（Motion Capture，简称“mocap”）已发展了近一个世纪。
+动作捕捉（Motion Capture, mocap）已发展了近一个世纪。
 除了在生物力学领域的作用外，它也是娱乐产业不可或缺的一部分。
 为了制作电影和电子游戏中的角色动画，我们需要从现实场景（演员在房间里挥舞着棍子）到一系列图像（外星人用网捕捉蝴蝶）。
 在生物力学领域，我们某种程度上逆转了这个过程：我们利用一系列图像来确定底层骨骼和肌肉是如何产生可观察到的运动的。
@@ -206,14 +207,16 @@ \section{光学动作捕捉}
 避免这种情况的一种方法是用低通滤波器平滑数据，从而消除高频运动。
 但我们必须小心，避免滤除有意义的信息。由于感兴趣的频率范围取决于所研究的活动，因此合适的滤波器截止频率也取决于所研究的活动。
 例如，我们可能对高达约 3 Hz 的频率感兴趣，用于研究姿势；
-6 Hz 的频率感兴趣，用于研究行走；10-15 Hz 的频率感兴趣，用于研究跑步。
+6 Hz 的频率感兴趣，用于研究行走；
+10-15 Hz 的频率感兴趣，用于研究跑步。
 相比之下，高达 300 Hz 的频率可能与研究跑步时脚跟着地过程中运动的快速变化相关。
 遗憾的是，软组织伪影通常出现在与目标信号相同的频率范围内，因此我们需要通过策略性标记点定位和专门设计用于考虑这些误差的算法来解决这些误差。
 
 
 在分析原始视频数据之前，我们还会使用另外两种方法对其进行处理。
 首先，在实验过程中，标记点通常会暂时被遮挡在摄像机视野之外，因此测量到的这些标记点的轨迹不完整。
-可以使用插值法近似计算缺失的短片段；如果存在足够多的其他标记点，则可以通过忽略被遮挡的标记点来弥补较长的间隙。
+可以使用插值法近似计算缺失的短片段；
+如果存在足够多的其他标记点，则可以通过忽略被遮挡的标记点来弥补较长的间隙。
 其次，摄像机无法区分回射式光学标记点；必须在每一帧视频中为每个标记点添加标签。
 我们可能需要手动分配这些标签，或者纠正自动标记方法造成的错误。
 为了彻底避免标记点标记问题，可以使用发光的“主动”标记点代替上述回射式“被动”标记点。
@@ -235,17 +238,18 @@ \section{光学动作捕捉}
 
 从迈布里奇事件到现代，基于视频的分析一直是运动研究的主力。
 未来，仅使用视频的无标记运动捕捉技术将更加精准，普及度也将进一步提升。
-穿戴式加速度计和惯性测量单元 (IMU) 将显著扩展可开展的生物力学研究类型，并增加参与研究的人数。
+穿戴式加速度计和惯性测量单元（Inertial Measurement Unit, IMU）将显著扩展可开展的生物力学研究类型，并增加参与研究的人数。
 然而，在本章的其余部分，我们将重点介绍目前在生物力学研究和临床运动捕捉实验室中最常用的技术，这些技术用于收集光学标记轨迹并计算骨骼关节运动学。
 
 
+
 \section{无约束逆运动学}
 
 一种常用的根据标记轨迹估算关节角度的方法是，首先根据附着在每个身体部位上的标记的位置，建立一个固定在该部位上的参考系（图~\ref{fig:7_9}）。
 然后，将固定在相邻部位上的参考系的相对方向解释为连接这些部位的关节角度（图~\ref{fig:7_10}）。
 我们将这种方法称为“无约束”逆运动学，因为它对肢体长度或隐含骨骼模型的关节运动没有任何约束或限制。 
 （这种方法也被称为“直接法”，因为关节角度是根据标记位置“直接”计算出来的。
-我们不鼓励使用这个术语，以免与“直接运动学”混淆，“直接运动学”是“正向运动学”的同义词，它描述了根据关节角度计算标记位置的相反过程。）
+我们不鼓励使用这个术语，以免与“直接运动学”混淆，“直接运动学”是“正向运动学”的同义词，它描述了根据关节角度计算标记位置的相反过程）。
 请注意，我们通常也对关节的角速度和角加速度感兴趣，但我们假设关节角度可以对时间进行微分（如有必要，在滤波之后）以获得这些量。
 
 
@@ -298,7 +302,7 @@ \section{无约束逆运动学}
 
 
 类似地，我们也可以定义一个固定在胫骨上的参考系，同样使用股骨上髁标记来定义Z轴。
-然后，我们可以将膝关节屈曲角度定义为胫骨参考系相对于股骨参考系绕（平行）Z轴的夹角。
+然后，我们可以将膝关节屈曲角度定义为胫骨参考系相对于股骨参考系绕（平行）Z 轴的夹角。
 
 
 追踪参考系也固定在身体各节段上，但它们可能与解剖学相关的轴不对齐。
@@ -321,8 +325,8 @@ \section{变换矩阵}
 或者，你可以先绕Z轴旋转，或者绕旋转后的Y轴旋转，而不是绕原始轴旋转。
 这三个轴的选择有一些比其他轴更常见。
 例如，在航空学中，传统上选择旋转轴的三个角度分别是偏航角、俯仰角和滚转角（图~\ref{fig:7_12}）。
-这组旋转序列被称为Z-Y-X体固旋转序列，之所以称之为“体固”是因为每次旋转都围绕着附着在体上的框架进行。
-（另一种旋转序列被称为“空间固”序列，因为每次旋转都围绕着实验室框架的某个轴进行。）
+这组旋转序列被称为Z-Y-X体固旋转序列，之所以称之为“体固”是因为每次旋转都围绕着附着在体上的框架进行
+（另一种旋转序列被称为“空间固”序列，因为每次旋转都围绕着实验室框架的某个轴进行）。
 
 
 \begin{figure}[!htb]
@@ -575,7 +579,6 @@ \section{变换矩阵}
 公式~\ref{eq:7_14}~有效地在公式~\ref{eq:7_12}~的右侧包含了偏移向量，同时保留了使用单个矩阵 ($^AT_B$) 关联两个帧的符号便利性。
 
 
-
 最后，对于那些对数学特别感兴趣的读者，我们需要指出，用旋转矩阵（例如公式~\ref{eq:7_10}）表示旋转并非总是最佳选择。
 这种方法存在一个称为“万向节锁”的缺陷：当两个或多个旋转轴对齐时，无法表示某些旋转。
 例如，如果图 7.12 中的俯仰 $\theta = −90$ 度，则 Z = X″，改变角度 $\psi$ 和 $\phi$ 对飞机的影响相同。
@@ -712,7 +715,7 @@ \section{肩部运动学模型}
 \section{评估前交叉韧带损伤风险}
 
 \textit{前交叉韧带}是膝关节稳定系统的关键组成部分。
-它连接股骨和胫骨，并穿过\textit{后交叉韧带}（posterior cruciate ligament, PCL）前方。
+它连接股骨和胫骨，并穿过\textit{后交叉韧带}（Posterior Cruciate Ligament, PCL）前方。
 这种“十字”形状使这些韧带得名“十字韧带”。
 粗略地说，\textit{前交叉韧带}阻止胫骨相对于股骨向前移动，而\textit{后交叉韧带}阻止胫骨向后移动。
 \textit{后交叉韧带}较难受伤，但\textit{前交叉韧带}的损伤却异常常见，通常发生在无任何主动接触的情况下。
@@ -749,8 +752,9 @@ \section{评估前交叉韧带损伤风险}
 OpenSim 搜索满足 2 个标准的模型姿势：姿势必须与动作捕捉系统记录的运动员实际姿势非常匹配，并且姿势对\textit{前交叉韧带}的压力必须较小。
 
 
-九位志愿者一致采用一种策略：将身体重心略微向期望的运动方向移动。
-即使只有3厘米的微小移动，也能使峰值外翻力矩降低40\%。该运动学模型的优势在于：
+9 位志愿者一致采用一种策略：将身体重心略微向期望的运动方向移动。
+即使只有3厘米的微小移动，也能使峰值外翻力矩降低40\%。
+该运动学模型的优势在于：
 首先，它确定了重心移动是减少这些动作中外翻力矩的最有效策略；
 其次，该模型可以根据每位运动员进行量身定制。
 通过这种方式，运动员可以从计算机中学习到最适合自己的方法。
@@ -758,7 +762,7 @@ \section{评估前交叉韧带损伤风险}
 
 正如你所见，不同运动员运动学上的细微差异会导致受伤风险的巨大差异。
 通过量化运动并梳理这些差异，我们有机会避免不必要的伤害。
-在这种情况下，3厘米的预防可能抵得上3万美元的治疗！
+在这种情况下，3 厘米的预防可能抵得上 3 万美元的治疗！
 
 
 
diff --git a/chap8/chap8.tex b/chap8/chap8.tex
index 112deac..b11695e 100644
--- a/chap8/chap8.tex
+++ b/chap8/chap8.tex
@@ -24,7 +24,7 @@ \chapter{逆动力学} \label{chap:chap8}
 她的右膝每走一步都疼痛难忍，爬楼梯更是不可能。
 她想和我的孩子们一起玩，却跟不上他们。
 无法行走不仅限制了她参与生活，还给她带来了心理上的创伤。
-膝盖 X 光检查显示，她患有严重的骨关​​节炎，这是一种影响美国超过3000万人的退行性关节疾病（图~\ref{fig:8_1}）。
+膝盖 X 光检查显示，她患有严重的骨关​​节炎，这是一种影响美国超过 3000 万人的退行性关节疾病（图~\ref{fig:8_1}）。
 
 
 \begin{figure}[!htb]
@@ -102,8 +102,8 @@ \section{测量外力}
 牛顿第二定律现在通常被称为 $\underline{F} = m \underline{a}$，其中$\underline{F}$是作用于物体的所有力的矢量和，$m$是物体的质量，$\underline{a}$是其质心的（线性）加速度。
 这个版本遵循原始版本，前提是物体的质量在运动过程中保持不变，这在大多数应用中都是合理的（火箭技术是一个显著的例外）。
 莱昂哈德$\cdot$欧拉后来将牛顿定律扩展到旋转运动。
-欧拉第二定律告诉我们，物体绕其质心的角动量的变化率等于作用于该点的所有矩之和。
-（有关正式的数学表述，请参见下面的公式~ 8.6。）
+欧拉第二定律告诉我们，物体绕其质心的角动量的变化率等于作用于该点的所有矩之和
+（有关正式的数学表述，请参见下面的公式~ 8.6）。
 
 
 如果已知每个身体部位的质量和加速度，我们可以使用牛顿定律和欧拉定律来确定施加在每个身体上的力和力矩。
@@ -156,7 +156,7 @@ \section{压力中心}
 其中，$\underline{M}$表示测力板原点处的力矩，$\underline{r}$表示从原点到压力中心的矢量，$\underline{F}$表示合成的地面反作用力，$\underline{T}$表示在压力中心施加力时产生等效系统所需的力矩（图~\ref{fig:8_2}）。
 在公式~\ref{eq:8_1}~中，我们有 3 个独立方程（分别表示 $M_x$、$M_y$ 和 $M_z$），但有 6 个未知数：
 矢量的 3 个分量和力矩的 3 个分量。
-我们注意到压力中心保持在测力板表面（$r_z = 0$），并且表面摩擦只能产生绕垂直轴的力矩（$T_z$，也称为“自由力矩”），从而得到了三个附加方程。
+我们注意到压力中心保持在测力板表面（$r_z = 0$），并且表面摩擦只能产生绕垂直轴的力矩（$T_z$，也称为“自由力矩”），从而得到了 3 个附加方程。
 虽然可以想象绕其他两个轴的力矩，但只有将人的脚粘在测力板上才能观察到这些力矩。
 这样，脚粘的受试者才有可能产生向下的地面反作用力，从而绕其他两个轴产生力偶。
 
@@ -190,7 +190,8 @@ \section{压力中心}
 \section{逆动力学算法}
 
 动力学分析考虑物体的运动（运动学）以及导致该运动并由该运动产生的力（动力学）。
-在本节中，我们将考虑一个典型的逆动力学问题：给定一个受试者的代表性模型、受试者随时间变化的关节运动学以及施加于受试者的外力测量值，求出产生给定运动所必需的净关节力和力矩。
+在本节中，我们将考虑一个典型的逆动力学问题：
+给定一个受试者的代表性模型、受试者随时间变化的关节运动学以及施加于受试者的外力测量值，求出产生给定运动所必需的净关节力和力矩。
 简而言之，我们将力学定律应用于模型中的每个身体部位，并计算作用于每个关节的内部力和力矩。
 关节角度通常使用逆运动学算法（第~\ref{chap:chap7}~章）根据光学标记轨迹估算，然后对其进行平滑和微分以获得角速度和角加速度。
 无需测量外力即可进行逆动力学分析，但我们将把这方面的讨论推迟到本章的后面。
@@ -230,9 +231,8 @@ \section{逆动力学算法}
 
 \section{具有地面反作用力的逆动力学}
 
-
 在本节中，我们将使用图~\ref{fig:8_4}~所示的平面模型，对双腿下蹲的某一瞬间进行逆动力学分析。
-该模型由四个刚体组成，它们通过三个旋转（销）关节连接，分别代表踝关节、膝关节和髋关节。
+该模型由 4 个刚体组成，它们通过三个旋转（销）关节连接，分别代表踝关节、膝关节和髋关节。
 我们假设关节角度、角速度和角加速度已通过先前求解逆运动学问题获得。
 我们进一步假设受试者的身体是对称的，并且任何超出矢状面的运动都可以忽略不计。
 我们将左右脚组合成一个刚体（“脚”），假设其质量可忽略不计，并在地面上保持静止。
@@ -312,7 +312,7 @@ \section{具有地面反作用力的逆动力学}
 \end{equation}
 
 最后，我们解出$T_1$。
-我们上面提到的旋转类似物 $\underline{F} = m \underline{a}$，在平面系统中计算物体上任意点$P$的矩时，具有以下一般形式：
+我们上面提到的旋转类似物 $\underline{F} = m \underline{a}$，在平面系统中计算物体上任意点 $P$ 的矩时，具有以下一般形式：
 %
 \begin{equation}
 	\sum M_p = 
@@ -321,14 +321,14 @@ \section{具有地面反作用力的逆动力学}
 	\label{eq:8_6}
 \end{equation}
 %
-其中，$\sum M_p$ 是关于点 $P$ 的力矩之和，$I$ 是物体绕其质心 (COM) 的转动惯量，$\ddot{\theta}$ 是物体的角加速度， 是从点 $\underline{r} ^P$ 到质心的矢量，$m$ 是物体的质量，$\underline{a}$ 是物体质心的线加速度。
+其中，$\sum M_p$ 是关于点 $P$ 的力矩之和，$I$ 是物体绕其质心 (Center Of Mass, COM) 的转动惯量，$\ddot{\theta}$ 是物体的角加速度， 是从点 $\underline{r} ^P$ 到质心的矢量，$m$ 是物体的质量，$\underline{a}$ 是物体质心的线加速度。
 由于质量与加速度的乘积是力，我们可以将公式~\ref{eq:8_6}~右边的第二项解释为力矩在旋转轴上的投影（正如我们在公式~\ref{eq:6_4}~中看到的那样）。
 
 
 无论计算哪个点的矩，都会得到等效的方程组。
-为简单起见，我们通常计算重心的矩，使得公式~\ref{eq:8_6}~中的叉积为零（具体来说，使得 $\underline{r} ^P = \underline{0}$ ）。
+为简单起见，我们通常计算重心的矩，使得公式~\ref{eq:8_6}~中的叉积为 0（具体来说，使得 $\underline{r} ^P = \underline{0}$ ）。
 然而，我们假设足部无质量且静止。
-因此，公式~\ref{eq:8_6}~的右边始终为零，我们可以假设重心位于任意位置。
+因此，公式~\ref{eq:8_6}~的右边始终为 0，我们可以假设重心位于任意位置。
 为方便起见，我们将踝关节的矩相加：
 %
 \begin{equation}
@@ -410,7 +410,7 @@ \section{具有地面反作用力的逆动力学}
 	\label{eq:8_11}
 \end{equation}
 
-最后，我们对 COM 的矩求和以获得 $T_2$ 的表达式：
+最后，我们对质心的矩求和以获得 $T_2$ 的表达式：
 %
 \begin{equation}
 	\begin{aligned}
@@ -424,7 +424,7 @@ \section{具有地面反作用力的逆动力学}
 \end{equation}
 %
 其中 $d_1 \triangleq l_1 r_1$。
-公式~\ref{eq:8_10b}b、\ref{eq:8_11}~和~\ref{eq:8_12}~构成了第二个包含三个未知数的线性方程组，现在我们可以求解施加在踝关节和膝盖上的净力和净力矩。
+公式~\ref{eq:8_10b}b、\ref{eq:8_11}~和~\ref{eq:8_12}~构成了第二个包含 3 个未知数的线性方程组，现在我们可以求解施加在踝关节和膝盖上的净力和净力矩。
 
 
 对大腿段重复相同的步骤（图~\ref{fig:8_7}），其中未知数是施加于髋部的力和力矩（$F_{x_3}$、$F_{y_3}$ 和 $T_3$）。
@@ -476,7 +476,8 @@ \section{具有地面反作用力的逆动力学}
 如果直接追踪膝盖位置，公式~\ref{eq:8_13a}a~和~\ref{eq:8_14a}a~中的这些项可以用测量值代替。
 
 
-综上所述，我们得到了一个包含九个未知数的线性方程组：作用于踝关节、膝关节和髋关节的净力和力矩。
+综上所述，我们得到了一个包含九个未知数的线性方程组：
+作用于踝关节、膝关节和髋关节的净力和力矩。
 因此，如果已知地面反作用力，则只需测量或以其他方式获取足部、小腿和大腿节段的几何特性、惯性特性和运动学参数。
 无需测量头部、手臂和躯干的运动，这可能是一个优势，因为这些身体节段的测量可能不准确。
 HAT 节段的自由体图（图~\ref{fig:8_8}）证实所有变量均已计算，因此在测量地面反作用力时无需分析 HAT。
@@ -514,7 +515,7 @@ \section{无地面反作用力的逆动力学}
 \end{equation}
 
 
-假设已经测量了 HAT 的运动学，则公式~\ref{eq:8_15a}~包含一个包含三个未知数（$F_{x_3}$、$F_{y_3}$ 和 $T_3$）的三个方程的线性系统。
+假设已经测量了 HAT 的运动学，则公式~\ref{eq:8_15a}~包含一个包含三个未知数（$F_{x_3}$、$F_{y_3}$ 和 $T_3$）的 3 个方程的线性系统。
 如果我们使用公式~\ref{eq:8_15a}~代替从足部段的自由体受力图推导出的 3 个方程，我们将获得一个包含九个未知数的九个方程的系统，就像我们在上一节中得到的一样。
 但请注意，我们的顺序计算现在从 HAT 开始（有时称为“自上而下”算法），而不是从足部开始（“自下而上”算法）。
 因此，我们将依赖于对 HAT 段运动学（$\theta_3$ 及其可能有噪声的导数）的测量，而不是对地面反作用力（$F_{x_g}$ 和 Fyg）的测量。
@@ -598,7 +599,7 @@ \section{行走和跑步时的关节力矩}
 
 \section{步态再训练以减轻膝盖负荷和疼痛}
 
-膝关节骨关节炎影响着约20\%的45岁以上成年人，它会引起疼痛、限制身体活动并降低生活质量。
+膝关节骨关节炎影响着约 20\% 的 45 岁以上成年人，它会引起疼痛、限制身体活动并降低生活质量。
 虽然膝关节骨关节炎通常可以通过手术干预来治疗，例如全关节置换术，但只要我们能找到其他有效的治疗方法，最好还是避免手术。
 
 
@@ -615,16 +616,19 @@ \section{步态再训练以减轻膝盖负荷和疼痛}
 
 
 通过观察膝关节的几何形状和行走过程中额状面的动力学，我们可以理解这种策略的工作原理。
-在本书的大部分内容中，我们重点关注矢状面上的运动和力矩；然而，额状面上的运动和力矩对于膝关节骨关节炎的发生和治疗至关重要。
+在本书的大部分内容中，我们重点关注矢状面上的运动和力矩；
+然而，额状面上的运动和力矩对于膝关节骨关节炎的发生和治疗至关重要。
 如图~\ref{fig:8_11}~所示，地面反作用力在支撑位时产生一个膝关节外收力矩（请注意，本书的惯例是报告肌肉产生的“内部”力矩，而不是地面反作用力的“外部”力矩；但在本例中，我们报告的是外部力矩，以便与相关文献保持一致）。
 该力矩作用于膝关节内侧间室，在行走过程中，内侧间室通常比外侧间室多承受约 50\% 的重量。
-膝关节内收力矩的峰值通常出现在支撑位早期；对于膝关节骨关节炎患者，该峰值的大小与内侧间室骨关节炎的严重程度和进展相关。
+膝关节内收力矩的峰值通常出现在支撑位早期；
+对于膝关节骨关节炎患者，该峰值的大小与内侧间室骨关节炎的严重程度和进展相关。
 需要注意的是，较大的地面反作用力（例如由于肥胖或从事高强度活动）会增加膝盖负荷，并可能导致内侧间室软骨的损失。
 缺乏运动也会导致软骨健康状况不佳。
 
 
 一旦患上骨关节炎，减少膝关节内收力矩（从而减轻内侧间室的负荷）可以减轻疼痛并改善功能。
-手术可将膝关节内收力矩减少高达 30\%。但如图~\ref{fig:8_11}~所示，患有内侧间室骨关节炎的患者只需调整足部前进角度（即以更内八字的步态行走）即可减少内收力矩。
+手术可将膝关节内收力矩减少高达 30\%。
+但如图~\ref{fig:8_11}~所示，患有内侧间室骨关节炎的患者只需调整足部前进角度（即以更内八字的步态行走）即可减少内收力矩。
 这种改善比其他非手术治疗（如支架或鞋垫）更能减少内收力矩。
 减小足部前进角度会使膝关节中心向内侧移动，压力中心向外侧移动，这两者都会减小膝关节处地面反作用力的力臂。
 这种简单的步态调整易于学习且非常有效，可减轻研究参与者的疼痛并改善功能\cite{shull2013six}。 
@@ -647,12 +651,3 @@ \section{步态再训练以减轻膝盖负荷和疼痛}
 这是一件好事：这意味着如果一块肌肉疲劳或受伤，其他肌肉可以弥补不足。
 净力告诉我们身体必须做什么，但通过将单块肌肉纳入我们的模型，我们开始意识到完成这些任务的多种选择。
 理解我们的大脑如何在可用的选项中进行选择是生物力学中最引人入胜的问题之一，我们将在下一章探讨这个问题。
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diff --git a/chap9/chap9.tex b/chap9/chap9.tex
index a522e09..86834fe 100644
--- a/chap9/chap9.tex
+++ b/chap9/chap9.tex
@@ -17,7 +17,7 @@ \chapter{肌肉力量优化} \label{chap:chap9}
 我一生中发现的最伟大的生物力学发现之一并非源于实验室，也未借助任何特殊设备，仅仅依靠人体不可思议的适应性。
 1968年，一位名叫迪克$\cdot$福斯贝里的21岁土木工程系学生公布了他的发现，并在奥运会上以向后跳过跳高横杆的方式震惊了体育界。
 一位体育记者写道：“福斯贝里跳过横杆就像一个人被人从30层楼的窗户推下去一样。”
-然而，正是这种看似笨拙的跳高方式，让他创造了2.24米的奥运纪录，并最终获得金牌。
+然而，正是这种看似笨拙的跳高方式，让他创造了 2.24 米的奥运纪录，并最终获得金牌。
 
 
 福斯贝里实际上是在高中时出于无奈才开始使用他的标志性技术。
@@ -48,21 +48,22 @@ \chapter{肌肉力量优化} \label{chap:chap9}
 臀部越过横杆后收下巴有助于迫使臀部下沉，并根据牛顿第三运动定律，将双脚抬起并越过横杆。
 
 
-自1980年以来，所有跳高世界纪录都是用背越式跳高创造的，其他所有技术都已从世界舞台上消失。
+自 1980 年以来，所有跳高世界纪录都是用背越式跳高创造的，其他所有技术都已从世界舞台上消失。
 现在争论的焦点是哪种背越式跳高最好：
 “速度背越式”还是“力量背越式”？
 
 
 对我来说，福斯贝里跳马的故事教会了我几个宝贵的教训。
 首先，我们永远不应该想当然地认为流行的做事方式就是唯一或最佳方式。
-但一个不那么哲学、更偏向生物力学的信息是，我们的身体拥有关节骨骼和数百块肌肉，赋予我们完成任务的无限可能，无论是像端咖啡这样看似简单的动作，还是像跳两米高这样复杂的动作。
+但一个不那么哲学、更偏向生物力学的信息是，我们的身体拥有关节骨骼和数百块肌肉，赋予我们完成任务的无限可能，无论是像端咖啡这样看似简单的动作，还是像跳 2 米高这样复杂的动作。
 每一个动作都需要我们的大脑协调肌肉活动。
 下巴的一个简单的动作就能对我们的双脚产生影响。
 
 
 为了完成任何动作，我们的身体都会解决一个优化问题，试图用最小的努力获得最大的效果。
 但有一个问题，无论是数学模型还是现实世界的运动员，都可能遇到难题：局部最优并不总是全局最优。
-在背越式跳高之前的运动员们都认为他们找到了最佳技术。他们错了。
+在背越式跳高之前的运动员们都认为他们找到了最佳技术。
+他们错了。
 但他们无法仅仅通过对西方的滚翻技术进行小幅（“局部”）调整来提高标准。
 他们需要一位愿意进行大规模（“全局”）调整的运动员工程师，来改变我们对跳高应该是什么样子的理解。
 
@@ -149,8 +150,8 @@ \section{通过检查解决静态优化问题}
 
 我们首先关注图~\ref{fig:9_2}~所示的模型。假设我们希望产生 100 N$ \cdot $m 的踝关节跖屈净力矩。
 应该激励哪些肌肉来产生这个力矩呢？有很多可行的方案。
-例如，也许整个期望力矩都应该由比目鱼肌产生，或者最好是模型中的三个跖屈肌各自贡献一部分力矩。
-背屈肌也可以产生力量，也可以由其中一块或两块背屈肌产生。
+例如，也许整个期望力矩都应该由比目鱼肌产生，或者最好是模型中的 3 个跖屈肌各自贡献一部分力矩。
+背屈肌也可以产生力量，也可以由其中 1 块或 2 块背屈肌产生。
 因此，该问题是欠定的：方程的数量少于未知数，我们需要更多信息来解决这个问题。
 正式表述为，我们希望找到由每块肌肉 $ i $（我们的设计变量）产生的力 $ F_i $，使得踝关节跖屈总力矩为 100 N$ \cdot $m（等式约束），但前提是 $ F_i $ 为正，且对于任意 $ i = 1, ..., 5 $（界限）。
 
@@ -345,7 +346,7 @@ \section{行走和跑步时的肌肉力量}
 	% 可能是由于干扰“优化问题 2”框导致
 	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{chap9/9_9}
 	\caption{一个简单的腿部肌肉骨骼模型可用于研究跑步站立阶段的肌肉协调性和关节负荷。
-		参与产生矢状面运动的关键肌肉已被归类为九条代表性肌肉路径\cite{hamner2013muscle}。
+		参与产生矢状面运动的关键肌肉已被归类为 9 条代表性肌肉路径\cite{hamner2013muscle}。
 		括号中的值是对应于所示姿势的瞬时最大力（假设速度为零且肌腱刚性）和力臂。 \label{fig:9_9}}
 \end{figure}
 
@@ -569,7 +570,7 @@ \section{动力学优化}
 \begin{figure}[!htb]
 	\centering
 	\includegraphics[width=0.8\linewidth]{chap9/9_16}
-	\caption{一个包含五个段和七个自由度的平面模型，用于研究立定跳远过程中的肌肉协调性。
+	\caption{一个包含 5 个段和 7 个自由度的平面模型，用于研究立定跳远过程中的肌肉协调性。
 		采用动态优化方法预测踝关节、膝关节、髋关节和肩关节肌肉的协调性，以最大化跳跃距离\cite{ong2015simulation}。 \label{fig:9_16}}
 \end{figure}
 
@@ -585,6 +586,7 @@ \section{动力学优化}
 	\label{eq:9_5}
 \end{equation}
 
+
 公式~\ref{fig:9_5}~中的权重 $w_i$ 的选择是为了反映各项的相对重要性，并适当平衡长度、扭矩、力和时间的单位。
 确定目标函数中的适当权重通常是一个迭代过程，需要手动调整或使用其他优化器（有时称为“元优化”）。
 
@@ -607,9 +609,3 @@ \section{动力学优化}
 令人兴奋的是，该算法能够协同优化装置参数和人体协调性，使两者的综合性能实现了最长的跳跃距离。
 这项研究展示了动态优化如何洞察人体运动，并补充辅助装置设计的实验方法。
 未来，类似的预测工具或可用于为个体患者定制手术、植入物、假体或辅助装置，或许有助于确定哪种治疗方法能够带来最佳疗效。
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