FinalPrep.md

AGLA 2 Final preparation

TOC

• AGLA 2 Final preparation
  • TOC
  • Notes From @kupamonke
    • Нахождение обратной матрицы 2x2
    • Нахождение обратной матрицы 3x3
    • Нахождение собственный значений и векторов (Eigenvalues and Eigenvectors)
    • 1 задание
    • 2 задание
    • 3 задание
    • 4 задание
    • 5 задание
    • 6 задание
  • Kholodov Lecture Notes from @kupamonke
  • MIT Lecture notes from @kupamonke

Notes From @kupamonke

Нахождение обратной матрицы 2x2

$A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$

$A^{-1} = \frac{1}{|A|}\begin{bmatrix} d & -b \ -c & a \end{bmatrix}$

Нахождение обратной матрицы 3x3

$A = \begin{bmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{bmatrix}$

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \bar A$

$\bar A = {(A^c_{+-})}^T$

$A_{+-}^c$ - матрица дополнительных миноров (кофакторов) $A_{+-}^c[i][j]$ это определитель матрицы, полученной из исходной вычеркиванием строки $i$ и столбца $j$, при этом если $(i+j)%2 = 1$ то мы умножаем полученный определитель на $-1$.

Нахождение собственный значений и векторов (Eigenvalues and Eigenvectors)

Eigenvectors $\vec x :$ $A\vec x = \lambda \vec x$

Eigenvalues $\lambda \in \mathbb C: A\vec x = \lambda \vec x$

$|A| = 0 ⇒ \lambda = 0$ - eigenvalue

$\sum \lambda = Tr(A)$

$\prod \lambda = |A|$

$A\vec x = \lambda \vec x \iff (A - \lambda I)\vec x = 0 ⇒ |A - \lambda I| = 0$ $I$ - identity matrix

Из $|A - \lambda I| = 0$ находим собственные значения, зная их из $(A - \lambda I)\vec x = 0$ находим собсвенные вектора для каждого собственного значения $(x_i = N(A-\lambda_i I))$

1 задание

$S = \begin{bmatrix} x_1 & \ldots & x_n \end{bmatrix}$

$AS = S\Lambda , \Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \ 0 & \ddots & 0 \ 0 & 0 & \lambda_n \end{bmatrix}$

$S^{-1}AS = \Lambda$

$Ax = \lambda x ⇒ A^2 x = A\lambda x = \lambda Ax = \lambda^2 x$

$A^2 = S \Lambda^2 S^{-1}$

$A^k = S\Lambda^k S^{-1}$

2 задание

Диагонализируем матрицы A и B $A = Q\Lambda Q^{-1}$ $B = S \Lambda S^{-1}$ $B = M^{-1}AM$ $S \Lambda S^{-1} = M^{-1} Q\Lambda Q^{-1} M ⇒ S = M^{-1}Q ⇒ M = QS^{-1}$

$M = QS^{-1}$

3 задание

$A^T = A ⇒$ $A = \begin{bmatrix} a & b & c \ b & d & e \ c & e & f \end{bmatrix}$

Эту матрицу мы просто подставляем в уравнение и брутфорсом распиываем его

Матрица позитивна если выполнгено хотя бы одно из условий

1. $\lambda > 0$
2. subdeterminants > 0
3. all pivots > 0
4. $\forall x \neq \vec 0 x^T A x > 0$

4 задание

$\frac{d^2u}{dt^2} = A u$

$A ⇒ {\lambda_1 … \lambda_n } , {x_1 … x_n }$

$\omega_i = \sqrt{-\lambda_i}$

$u = (c_1 e^{i\omega_1 t} + \alpha_1 e^{-\omega_1t})\cdot x_1 + …$

$u = (a_1 cos(\omega_1 t) + b_1 sin(\omega_1 t))x_1 + …$

$\forall i$ $a_i, b_i, c_i, \alpha_i \in \mathbb R$

5 задание

$Ax = b$ - no sol $A^TA\bar x = A^Tb$ - least squares approximation

В этом задании вектор x будет равен $\begin{bmatrix} a\cdot sin(b) \ a\cdot cos(b) \end{bmatrix}$

6 задание

https://yutsumura.com/eigenvalues-of-a-hermitian-matrix-are-real-numbers/

Kholodov Lecture Notes from @kupamonke

Link to Kholodov Notes

MIT Lecture notes from @kupamonke

Link to MIT Notes