From 02cc8df58611f7c6bb6adf0191299ceb64be3300 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: fuminiton Date: Sat, 7 Jun 2025 21:16:47 +0900 Subject: [PATCH] new file: problem45/memo.md --- problem45/memo.md | 204 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 204 insertions(+) create mode 100644 problem45/memo.md diff --git a/problem45/memo.md b/problem45/memo.md new file mode 100644 index 0000000..5e81c04 --- /dev/null +++ b/problem45/memo.md @@ -0,0 +1,204 @@ +## 取り組み方 +- step1: 5分以内に空で書いてAcceptedされるまで解く + テストケースと関連する知識を連想してみる +- step2: 他の方の記録を読んで連想すべき知識や実装を把握した上で、前提を置いた状態で最適な手法を選択し実装する +- step3: 10分以内に1回もエラーを出さずに3回連続で解く +- step4: 浮動小数点記法まわりの知識を調べて整理する + +## step1 +- nが奇数の時、x * pow(x, n // 2) * pow(x, n // 2) +- nが偶数の時、pow(x, n // 2) * pow(x, n // 2) + +とできるので、再帰で解く。計算量はO(log n)。 +そのほか考えておきたいのは、 + +- x = 0 かつ n < 0 の時、分母が0になるのでエラーとしておきたい。 +- x = 0 の時、早期リターン +- n < 0 の時、1.0 / pow(x, -n) +- n = 0 の時、1を返す + +くらい。 +xが小数の時に精度はどこまで求められて、どこまで精度の要求を満たせるのかは、step4でいろいろ調べる。 + +```py +class Solution: + def myPow(self, x: float, n: int) -> float: + def get_pow(x: float, n: int) -> float: + if n == 0: + return 1 + half_pow = get_pow(x, n // 2) + if n % 2 == 1: + return x * half_pow * half_pow + else: + return half_pow * half_pow + + if x == 0 and n < 0: + raise ZeroDivisionError("When n < 0, x must be non-zero") + if x == 0: + if n == 0: + return 1 + return 0 + + if n < 0: + return 1.0 / get_pow(x, -n) + return get_pow(x, n) +``` + +## step2 +### 読んだ +https://github.com/Mike0121/LeetCode/pull/17/files +https://github.com/TORUS0818/leetcode/pull/47/files +https://github.com/hroc135/leetcode/pull/43/files +https://github.com/SanakoMeine/leetcode/pull/9/files +https://github.com/fuga-98/arai60/pull/45/files + +### 感想 +- bit使った方法の理解が難しかった + - n=5であれば、 + - 2進数で101 + - x^5 = {1 * x^(2^2)} * {0 * x^(2^1)} * {1 * x^(2^0)} + - となることを利用して実装すればよい + +- cpythonのfloat_powはcのpowを呼び出していた + - cのdouble pow()も見たが、よくわからないので後で調べる + +https://github.com/python/cpython/blob/main/Objects/floatobject.c#L810 +https://git.musl-libc.org/cgit/musl/tree/src/math/pow.c#n255 + +- 冷静に考えると、x が float なのに、== を使っているのは微妙では？ + - 0.0 は Special Quantities として定義しているから問題なさそう + +> The IEEE standard specifies the following special values (see TABLE D-2): ± 0, denormalized numbers, ± and NaNs (there is more than one NaN, as explained in the next section). These special values are all encoded with exponents of either emax + 1 or emin - 1 (it was already pointed out that 0 has an exponent of emin - 1). +https://docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_goldberg.html#875 + + - 以下、実機確認。 + +> >>> x = float(0) +> >>> x == 0.0 +> True +> >>> x == 0 +> True +> >>> x == +0.0 +> True +> >>> x == -0.0 +> True + +#### step1の洗練 +ヘルパー関数をプライベートメソッドとして定義し直す。 +half_powを偶奇で2回書くので、squaredを用意する。 +0.0, 1.0のように明確にfloatであることがわかるようにする。 +エッジケースの捌き方をいい感じに。 + +```py +class Solution: + def _get_pow(self, x: float, n: int) -> float: + if n == 0: + return 1.0 + half_pow = self._get_pow(x, n // 2) + half_pow_squared = half_pow * half_pow + if n % 2 == 1: + return x * half_pow_squared + else: + return half_pow_squared + + def myPow(self, x: float, n: int) -> float: + if n < 0: + if x == 0.0: + raise ZeroDivisionError("When n < 0, x must be non-zero") + return 1.0 / self._get_pow(x, -n) + return self._get_pow(x, n) +``` + +#### ループ +```py +class Solution: + def _get_pow(self, x: float, n: int) -> float: + if n == 0: + return 1.0 + power = 1.0 + base = x + exponent = n + while exponent > 0: + if exponent % 2 == 1: + power *= base + base *= base + exponent //= 2 + return power + + def myPow(self, x: float, n: int) -> float: + if n < 0: + if x == 0.0: + raise ZeroDivisionError("When n < 0, x must be no-zero.") + return 1.0 / self._get_pow(x, -n) + return self._get_pow(x, n) +``` + +#### bitを使う方法 +```py +class Solution: + def _get_pow(self, x: float, n: int) -> float: + if n == 0: + return 1.0 + power = 1.0 + base = x + n_mask = 1 + while n_mask <= n: + if n_mask & n: + power *= base + base *= base + n_mask <<= 1 + return power + + def myPow(self, x: float, n: int) -> float: + if n < 0: + if x == 0.0: + raise ZeroDivisionError("When n < 0, x must be no-zero.") + return 1.0 / self._get_pow(x, -n) + return self._get_pow(x, n) +``` + +## step3 +```py +class Solution: + def _get_pow(self, base: float, exp: int) -> float: + if exp == 0: + return 1.0 + half_pow = self._get_pow(base, exp // 2) + half_pow_squared = half_pow * half_pow + if exp % 2 == 1: + return base * half_pow_squared + return half_pow_squared + + def myPow(self, x: float, n: int) -> float: + if n < 0: + if x == 0: + raise ZeroDivisionError("When n < 0, x must be non-zero.") + return 1.0 / self._get_pow(x, -n) + return self._get_pow(x, n) +``` + +## step4 +### まとめ +- IEEE 754-2008 の2進浮動小数点記法のサマリ + - https://www.researchgate.net/figure/EEE-754-2008-standard-floating-point-number_fig9_326728372 + - 10進数 -> 2進数 -> 1.xxxx… * 2^yyyy… -> 符号ビット,yyyy…+offset,xx… ->符号,指数部,仮数部 +- IEEE 754-2008 で定められた浮動小数点記法の基本方式 + - https://www.researchgate.net/figure/The-IEEE-754-2008-arithmetic-formats_tbl1_275406524 + - bin32なら符号1bit、指数部8bits、仮数部23bits。単精度とも言われるもの。 + - bin64なら符号1bit、指数部11bits、仮数部52bits。倍精度とも言われるもの。 +- 小数を扱うときに気を付けておけるべきこと + - https://docs.python.org/3/tutorial/floatingpoint.html + +> >>> 0.1 + 0.1 + 0.1 == 0.3 +> False +> >>> round(0.1, 1) + round(0.1, 1) + round(0.1, 1) == round(0.3, 1) +> False +> >>> math.isclose(0.1 + 0.1 + 0.1, 0.3) +> False + +> For use cases which require exact decimal representation, try using the decimal module which implements decimal arithmetic suitable for accounting applications and high-precision applications. + +> As that says near the end, “there are no easy answers.” Still, don’t be unduly wary of floating point! The errors in Python float operations are inherited from the floating-point hardware, and on most machines are on the order of no more than 1 part in 2**53 per operation. That’s more than adequate for most tasks, but you do need to keep in mind that it’s not decimal arithmetic and that every float operation can suffer a new rounding error. + +### 感想 +浮動小数点周りはSWEの入り口として知っておくべきことが多そう。 +あと、一旦cを読めるように学習しないと、cpythonの読解の質が上がらなそう。 \ No newline at end of file